3. Свободные колебания с периодом Т = 1

1. Пусть b1 =1, b2 =12 . Уравнения прямых MN и PG имеют соответственно вид y2 = −12 y1 1. Расположение областей I–III на плоскости (y1, y2 ) изображено на рис. 6 а.

69

70

обозначать T =1(1) или T =1(−1) соответственно. При старте из

точек, принадлежащих областям III или I, изображающая точка переходит в точку A или C соответственно не позднее, чем на втором шаге.

Поскольку коэффициенты b1 , b2 выбраны за пределами

треугольника устойчивости, при старте из области II изображающая точка удаляется от начала координат и за конечное число шагов переходит в зависимости от начального состояния в область I или III.

а для точки B выполняются условия (7). Этим соотношениям удовлетворяет заштрихованная область на рис. 6 б.

2. Пусть b1 = 32, b2 = 0 . В этом случае уравнения прямых MN и PG имеют вид соответственно y2 = 23. Расположение областей I–III на плоскости (y1 , y2 ) изображено на рис. 7 а.

При таком разбиении плоскости состояний закономерности движений изображающей точки совпадают с приведенными в п. 1. Следовательно, динамическая система имеет 2 суперустойчивых состояния равновесия в точках A или C , а на выходе ее в установившемся режиме существуют колебания с периодом T = 1вида T =1(1) или T =1(−1) соответственно.

Определим область значений параметров (b1 , b2 ),

соответствующую данному расположению областей I-III на плоскости (y1 , y2 ). Для точки A выполняется условие (10), а для точки B –

условие (8). Этим соотношениям удовлетворяет заштрихованная область на рис. 7б.

71

I

-2

а)

b2

1

-1

б)

Рис. 7

4.Свободные колебания с периодом Т = 2

1.Пусть b1 = −1, b2 =12 . В этом случае уравнения прямых MN

и PG имеют соответственно вид y2 =12 y1 ±1. Расположение

областей I–III на плоскости состояний показано на рис. 8а. Пусть изображающая точка стартует из точки B , тогда

y1 (0)=1y2 (0)= −1.

72

73

y1 (1)= y2 (0)= −1y2 (1)=1.

Изображающая точка переместилась в принадлежащую области I точку D . Далее на основании (3) получим

y1 (2)= y2 (1)=1y2 (2)= −1.

Следовательно, изображающая точка снова оказалась в точке B . Далее процесс повторяется. Это колебательный процесс с периодом T = 2 вида → B → D →.

При старте из других точек, принадлежащих областям I или III, изображающая точка переходит в точку B или D не позднее, чем на втором шаге. Поскольку коэффициенты b1 , b2 выбраны за пределами

треугольника устойчивости, при старте из области II изображающая точка удаляется от начала координат и за конечное число шагов переходит в зависимости от начального состояния в область I или III. Последующий процесс описан выше. Таким образом, при выбранных коэффициентах b1 , b2 динамический режим характеризуется двумя

суперустойчивыми инвариантными точками B и D . На выходе системы после окончания переходных процессов имеем колебания с периодом T = 2 вида →1 → −1 →.

Определим область значений параметров

соответствующую данному расположению областей I–III на плоскости состояний. Для точки A выполняются условия (6), а для точки B имеем

2.Пусть b1 = −32, b2 = 0 . В этом случае уравнения прямых MN

иPG соответственно имеют вид y2 = ±23. Расположение областей I–III на плоскости состояний показано на рис. 9а.

74

движений изображающей точки совпадают с приведенными в п. 1. Следовательно, динамический режим характеризуется двумя

75