|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
b |
|
d |
|
|
|
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 b1 |
|
|
a |
|
c |
|
e |
|
|
|
|
Рис. 5 |
|
|
|
При таком выборе параметров b1 и b2 колебания с периодом |
||||||
T =1 имеют место и в области III. Здесь инвариантные точки |
||||||
отображения |
располагаются |
на |
участке |
биссектрисы |
y2 = y1 , |
|
принадлежащем области III, а координаты их отличаются от |
||||||
определяемых из (8) только знаком. |
|
|
|
|||
4. Свободные колебания с периодом T=2
Полагаем, что |
расположение областей I–III |
на плоскости |
(y1 , y2 ) имеет вид, |
показанный на рис. 6, а изображающая точка |
|
находится поочередно в областях I и III. Назовем это правилом |
||
движения → I → III →. |
|
|
При старте из области I согласно уравнениям (3) |
имеем |
|
y1 |
(1)= y2 (0) |
(0)+2. |
(11) |
|||
y |
2 |
(1)= b y |
2 |
(0)+b y |
||
|
1 |
2 1 |
|
|
||
Если изображающая точка перешла в область III, то в силу уравнений
(5) получим
y1 (2)= y2 (1)
y2 (2)= b1 y2 (1)+b2 y1 (1)−2.
96
Колебаниям |
с |
|
|
периодом |
T = 2 |
|
должны |
удовлетворять |
|||||||
следующие равенства: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y |
(2)= y |
(0) |
|
, |
т.е. |
b y |
(0)+b y |
|
(0)+2 = y |
(0) |
или |
||||
1 |
1 |
|
0) |
2 1 |
(1) |
|
1 |
2 |
|
1 |
|
||||
y2 |
(2)= y2 ( |
|
|
b2 y1 |
+b1 y2 (1)−2 = y2 (0) |
|
|||||||||
|
|
(b −1)y |
(0)+b y |
2 |
(0)= −2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
−1+b12 )y2 (0)= 2 −2b1. |
|
||||||
|
|
b1b2 y1 (0)+(b2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
||
|
III |
|
|
D |
|
1 |
|
A |
II |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
P |
|
|
|
-1 |
0 |
|
|
1 |
|
|
y1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
C |
|
-1 |
|
B |
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 6 |
|
|
|
|
|
|
||
Определитель этой системы уравнений равен |
|
|
|
||||||||||||
= (b2 −1)2 −b12 .
По формулам Крамера найдем координаты первой инвариантной точки:
Y |
(0)= |
−2 |
(b2 |
−1+b12 )−(2 −2b1 )b1 |
= |
|
|
2 |
, |
(12) |
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
+b1 −b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
97
Y |
(0)= |
(b2 −1)(2 −2b1 )+ 2b1b2 |
= − |
|
|
2 |
|
= −Y |
(0). (13) |
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
1 |
+b1 |
1 |
|
||
|
|
|
|
−b2 |
|
||||
Согласно уравнениям (11) координаты второй инвариантной точки равны
Y1 |
(1)=Y2 |
(0)= −Y1 (0), |
(14) |
Y2 |
(1)=Y1 |
(0). |
(15) |
Следовательно, инвариантные точки отображения, соответствующего колебаниям с периодом T = 2, располагаются на участках биссектрисы y2 = −y1 , принадлежащих областям I и III, а координаты
их находятся соответственно из (12), (13) и (14), (15).
Определим область значений параметров (b1 , b2 ),
соответствующую колебаниям с периодом T = 2. Из принадлежности первой инвариантной точки области I согласно табл. 1 вытекает неравенство (9), подставив в которое выражения (12), (13), получим
− |
2b1 +2b2 |
< −1. |
(16) |
|
|
||||
|
1+b |
−b |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
Заметим, что в области треугольника устойчивости справедливо неравенство b2 < b1 +1, значит, 1+b1 −b2 > 0. Преобразовав (16), имеем
b2 < b1 −1.
Этому условию внутри треугольника устойчивости удовлетворяет показанная на рис. 5 область cde .
5. Свободные колебания с периодом T=3
Полагаем, что расположение областей I-III на плоскости состояний имеет вид, показанный на рис. 7, а правило движения следующее: → III → II → I →.
При старте из области III после первой итерации согласно уравнениям (5) изображающая точка имеет координаты
98
y1 |
(1)= y2 (0) |
|
|
(0)−2. |
(17) |
|||||
y |
2 |
(1)= b y |
(0) |
+b y |
2 |
|||||
|
|
2 |
1 |
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
III |
|
|
G A |
|
|
||||
|
|
D |
|
1 |
II |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
0 |
1 |
|
N |
y1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
-1 |
B |
|
I |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 7 |
|
|
|
|
|
|
Считаем, что она находится в области II, тогда в силу уравнений (4) координаты следующего ее расположения равны
y1 |
(2)= y2 (1) |
|
(1). |
(18) |
||
y |
2 |
(2)= b y |
(1)+b y |
2 |
||
|
2 1 |
1 |
|
|
||
Изображающая точка переместилась в область I, а после третьей итерации на основании уравнений (3) она занимает положение с координатами
y1 (3)= y2 (2)
y2 (3)= b2 y1 (2)+b1 y2 (2)+ 2.
Колебаниям с периодом T = 3 должны удовлетворять следующие равенства:
99
|
y |
(3)= y |
(0) |
|
, |
b y |
(1)+b y |
|
(1)= y (0) |
|||||||
|
|
1 |
1 |
|
|
т.е. |
2 1 |
|
1 |
2 |
|
1 |
|
|||
|
y2 |
(3)= y2 (0) |
|
b2 y1 |
(2)+b1 y2 (2)+2 = y2 (0). |
|||||||||||
Подставив выражения для |
y1 (1), |
y2 (1) и |
y1 ( |
2), |
y2 (2) |
из (17) и (18) |
||||||||||
соответственно, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
b y |
2 |
(0)+b b y |
(0)+b y |
2 |
(0) |
−2 = y |
|
(0) |
|
|
||||||
|
2 |
|
1 |
2 1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) + |
2 = y2 (0) |
b2 b2 y1 (0)+b1 y2 (0)−2 +b1 b2 y1 (1)+b1 y2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
(b1b2 −1)y1 (0)+ |
(b12 +b2 )y2 (0)= 2b1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
+b12b2 )y1 (0)+(2b1b2 +b13 −1)y2 (0)= 2b2 + 2b12 −2. |
||||||||||||
|
(b22 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем определители:
=(b1b2 −1)(2b1b2 +b13 −1)−(b12b2 +b22 )(b12 +b2 )=
=1−b13 −b23 −3b1b2 ,
1= 2b1 (2b1b2 +b13 −1)−(2b2 + 2b12 −2)(b12 +b2 )= = 2(−b1 +b2 +b12 −b22 ),
2= (b1b2 −1)(2b2 + 2b12 −2)−(b22 +b12b2 )2b1 = = 2(1−b2 −b1b2 −b12 ).
Значит, координаты первой инвариантной точки равны |
|||||||||
Y |
(0)= |
1 = |
2(−b1 +b2 +b12 −b22 ) |
, |
|||||
|
1−b3 |
−b3 |
−3b b |
||||||
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
Y |
(0)= |
2 = |
|
2(1−b2 −b1b2 −b12 ) |
. |
|
|||
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
1−b3 |
−b3 |
−3b b |
|
||
|
|
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
Согласно уравнениям (17) вторая инвариантная точка координаты
(19)
(20)
имеет
Y1 (1)=Y2 (0), |
(21) |
100
Y |
(1)= |
2(b1 +b1b2 +b22 −1) |
. |
(22) |
|||
|
|||||||
2 |
|
1−b3 |
−b3 |
−3b b |
|
||
|
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
А координаты третьей инвариантной точки согласно (18) равны
Y1 |
(2)=Y2 |
(1), |
(23) |
Y2 |
(2)=Y1 |
(0). |
(24) |
Таким образом, координаты инвариантных точек отображения, соответствующего колебаниям с периодом T = 3, находятся из соотношений (21)–(24).
Определим область значений коэффициентов
соответствующую колебаниям с периодом T =3. Если первая инвариантная точка находится в области III, то согласно табл. 1 выполняется соотношение
b2 y1 (0)+b1 y2 (0)≥1.
Подставив выражения для координат из (19) и (20), получим
2b2 (−b1 +b2 +b12 −b22 )+ 2b1 (1−b2 −b1b2 −b12 )≥1. 1−b13 −b23 −3b1b2
Следовательно, для границ искомой области получим
2b1 −b1b2 + 2b22 −b13 −b23 =1.
Это выражение позволяет вычислить значения границы как функции b2 = Ψ(b1 ). Искомая область, принадлежащая треугольнику
устойчивости, заштрихована на рис. 8.
101