Добавил:

ArGoN4ik Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ярославский Государственный Университет им. П.Г. Демидова

Предмет:

Динамика цифровых колебательных систем

Файл:

Лабы / Bruhanov_DCKS_Lab.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.01.2024

Размер:

832.17 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2610 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Лабораторная работа №3

ДИНАМИКА АВТОНОМНОГО ЛИНЕЙНОГО ЦИФРОВОГО ОСЦИЛЛЯТОРА

Цель работы: изучение свободных колебаний в линейной цифровой рекурсивной системе второго порядка и ее устойчивости

Теория

1. Исходные положения

Цифровой осциллятор является рекурсивной колебательной системой второго порядка. Роль его в цифровых системах передачи информации аналогична роли колебательного контура в аналоговых системах. Это основной элемент для построения сложных колебательных систем.

Структурная схема линейного осциллятора изображена на рис. 1, где b1 и b2 – умножители.

0						y1(n+2)
0						y1(n+2)

z-1

y1(n+1)

z-1

y1(n)

Рис.1

Свободные колебания описываются линейным разностным уравнением второго порядка:

y1(n+2) - b1 y1(n+1) - b2 y1(n) = 0.

(1)

Ему соответствует характеристическое уравнение

q2 - b q - b	2	= 0,	(2)
1	2

корни которого равны

	b	1	±	b 2	+ 4b
q =		1		1	2	.	(3)
q =						.	(3)
1,2				2
				2

Решение уравнения (1) выражается зависимостью

y (n) = C	1	q	1	n + C	2	q	2	n.	(4)
1	1		1		2		2

Постоянные C1 и C2 находятся из начальных условий y1(0), y1(1) и корней характеристического уравнения следующим образом:

		y1 (0)		1
C =		y1 (1)		q2	=		y (0)q − y (1)				,	(5)
							1	2	1
							1	2	1

1		q2	−q1					q2 −q1
		q2	−q1					q2 −q1
		1	y1 (0)
		1	y1 (0)
C2	=	q1		y1 (1)		=	y	(1) − y	(0)q
							1	1	1	.		(6)
							1	1	1
		q2	−q1
		q2	−q1					q2 −q1

Запишем уравнение (1) в виде системы двух уравнений первой степени. Обозначив

	y2(n) = y1(n+1),		(7)
получим
	y1 (n +1) = y2 (n)		(8)
	(n +1) = b2 y1 (n) +b1 y2	(n)	(8)
y2	(n +1) = b2 y1 (n) +b1 y2	(n)

или в матричной форме

		0	1			(9)
		0	1
Y (n +1) =			b	Y (n) =[B]Y (n) .
	b	2	b	1
Решение системы (8) выражается следующим образом:
			n		n
	y1	(n) = C1q1		+C2q	2	(10)
		(n) = C q n+1+C			q n+1.	(10)
	y	(n) = C q n+1+C			q n+1.
	2		1 1	2	2

Рассмотрим состояние равновесия в начале координат и характер поведения траекторий движения вблизи его. Этот характер определяется корнями (3) характеристического уравнения.

В зависимости от соотношения между корнями характеристического уравнения в системе могут возникать различные колебания. Рассмотрим возможные ситуации в некритических случаях, полагая корни характеристического уравнения разными.

2.Корни характеристического уравнения вещественные,

смодулем меньшим единицы

Рассмотрим случай вещественных корней и соотношения
\| q1 \| < 1, \| q2 \| < 1.			(11)
Условие вещественности корней определяется неравенством
b 2 + 4 b	2	> 0	(12)
1

или равенством b12 - 4 b2 = 0, при этом q1=q2=b1/2 (этот случай не

рассматривается).

Решая систему неравенств (11), (12), получим на плоскости параметров системы соответствующую область. Эта область показана заштрихованной на рис. 2. Из теории динамических систем, описываемых разностными уравнениями второго порядка, известно, что вещественным, разным и по модулю меньшим единицы корням характеристического уравнения соответствует состояние равновесия типа устойчивый узел. Следовательно, заштрихованная область определяет значения параметров b1, b2, соответствующих

вышеуказанному состоянию равновесия.

2= -1 4-- 1b2

Рис.2

В качестве иллюстрации движения системы, когда корни характеристического уравнения вещественные и по модулю меньше единицы, на рис.3 изображены рассчитанные для ряда начальных условий траектории движения при b1 = 0,8, b2 = -0,1.

			y2	0,8
				0,6
				0,4
				0,2			y1
					0,4	0,6	y1
-0,8	-0,6	-0,4	-0,2	0,2	0,4	0,6	0,8
				-0,2
				-0,4
7				-0,6
7
				-0,8
			Рис.3

3.Корни характеристического уравнения вещественные,

смодулем большим единицы

Рассмотрим случай вещественных корней и соотношения

| q1 | > 1, | q2 | > 1.

(13)

Области значений коэффициентов b1, b2, удовлетворяющие условию

(13), представлены на рис. 4 заштрихованными.

Из теории динамических систем, описываемых разностными уравнениями второго порядка, известно, что вещественным, разным и по модулю большим единицы корням характеристического уравнения соответствует состояние равновесия типа неустойчивый узел. Следовательно, заштрихованные области определяют значения параметров b1, b2, соответствующих этому состоянию равновесия.

На рис. 5 представлены рассчитанные при b1 = 2,5, b2= -1,52 траектории движения системы для ряда начальных условий.



	b















=
2		-
		1
		--
		4b
		2
		1

Рис.4

y2 0,8

0,6

0,4

0,2

-0,8 -0,6

-0,4

-0,2

0,2

0,4

0,6

0,8

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

Рис.5

4. Корни характеристического уравнения вещественные. Один из корней по модулю больше, а другой – меньше единицы

Рассмотрим случай вещественных корней и соотношения

q1		>1,		q2		<1.	(14)

Следует отметить, что условия (14) справедливы при b1>0. Область параметров b1, b2, удовлетворяющая неравенствам (14), показана

заштрихованной на рис.6. Пусть

q1		<1,		q2		>1.	(15)

Эти условия справедливы при b1< 0. Условиям (15) соответствует

заштрихованная область на рис.7.

Согласно теории динамических систем, описываемых разностными уравнениями второго порядка, неравенствам (14) и (15) соответствует неустойчивое состояние равновесия типа седло. Этому

состоянию и удовлетворяют области значений параметров b1, b2, заштрихованные на рис.6 и 7.


			2
			2
		1b		1
		1b		1
-			4
=
	b
	b
2

Рис.6


		2
		2
	1b		1
	1b		1
-		4
=
b
2

Рис.7

На рис.8 изображены траектории движения цифровой системы второго порядка в окрестности особой точки типа седло при b1=1,5,

b2=-0,4, для ряда начальных условий.

	0,8	y2
	0,8
	0,6
	0,6
	0,4
	0,4
	0,2			y1
	0,2


-0,8 -0,6 -0,4 -0,2	0 0,2 0,4		0,6 0,8
		-0,2
		-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

Рис. 8

5. Корни характеристического уравнения комплексно сопряженные, с модулем меньшим единицы

Рассмотрим случай комплексно сопряженных корней и соотношения

\| q1 \|=\| q2 \|<1.			(16)
Комплексная сопряженность означает, что
q =	b1 ± j −b1 −4b2	.	(17)

1,2	2

Представим q1 = a + jb, q2 = a − jb.

В общем случае решение разностного уравнения (1) имеет вид

(4). Постоянные С1 и С2 находятся из начальных условий согласно (7),

(8). В силу вещественности величин y1 (0) и y1 (1) из выражения (5) следует, что величины С1 и С2 должны быть комплексно сопряженными, т.е. C2 = C1* . Вследствие этого из выражения (5) имеем

y1 (0) = C1 +C1* = 2ReC1 ,

т.е.

ReC1 = y1 (0) / 2 .

Мнимую часть C1 можно найти следующим образом:

ImC1 = y1 (0)a−y1 (1) .

Представим в показательной форме величину C1

C1 = C1 e jψ

и корни характеристического уравнения

q1,2 = re± jω .

(18)

(19)

(20)

(21)

Преобразуем общее решение (4) разностного уравнения (1) с учетом соотношений (20) и (21):

y1 (n) =C1q1n +C1*q1*n = 2 Re C1q1n = 2 Re{C1 e jψ q1 n e jωn }= = 2 C1 q1 n Re{e jψ e jωn }

Следовательно, получим
y (n) = 2		C		rn	cos(ωn +ψ).		(22)
y (n) = 2		C		rn	cos(ωn +ψ).		(22)
1		1
Выразим величины	r ,		ω,		ψ и	C1		через параметры
Выразим величины	r ,		ω,		ψ и	C1		через параметры

(коэффициенты) системы. Модуль и аргумент корня q1 соответственно равны

\| q	\|= r =	1	b2	−b2	− 4b =		−b		,	(23)
\| q	\|= r =	2	b2	−b2	− 4b =		−b		,	(23)
1,2		2	1	1		2	2
ω = arctg		−b12 −4b2			,	cos ω = 2			b	(24)
ω = arctg			b1		,	cos ω = 2			−b .	(24)
									1
									2
Заметим, что	в	выражении				(22)		величина ω		равна

нормированной угловой частоте свободных колебаний в осцилляторе,

произведение 2	C1	есть амплитуда этих колебаний при		n = 0, а
величина			ImC1
		ψ = arctg	ImC1	(25)
		ψ = arctg	ReC	(25)
			1
есть начальная фаза. В свою очередь согласно (18), (19) имеем

		C		=		1			−b y2		(0)−2ay			(0)y		(1)+ y2			(1),
						1

		1				2b		2		1			1		1			1
						2b
где a = b	2, b = −b2						−4b			2, т.е.
1			1					2
									−b y2		(0)−b y		(0)y		(1)		+ y2	(1)
									−b y2		(0)−b y		(0)y		(1)		+ y2	(1)
			C1		=			2		1	1	1		1			1			.	(26)
											−b2		−4b							.	(26)
											−b2		−4b
												1		2

Обратим внимание на выражение (17) для корней характеристического уравнения. Комплексная сопряженность корней означает

	b2	< 0,				(27)
b2	+4b	< 0, b	< −	1	b2 .	(28)

1	2	2	4		1
Из условий (16) и (23) следует неравенство						−b2 <1. Поскольку

левая и правая части его – величины положительные, возведем их в квадрат и получим

b2 > −1.

(29)

Покажем на плоскости (b1 , b2 ) область значений, удовлетворяющую одновременно условиям (27), (28) и (29) (рис. 9).

b
2
=
	-
	1
	-
	-
	4b
	2
	1
Рис.9

Согласно теории динамических систем, описываемых
разностными		уравнениями			второго		порядка,		комплексно
сопряженным характеристическим корням, удовлетворяющим
условию (16), соответствует состояние равновесия типа устойчивый
фокус. На рис. 9 этому состоянию удовлетворяет заштрихованная
область значений параметров b1 , b2 .
Две	траектории			движения		цифрового		осциллятора		при
b1 = 0,8, b2	= −0,5 изображены на рис. 10.
				0,8	y2
				0,6
				0,4
		-0,6			0	0,4			y1
	-0,8		-0,4		0,2		0,6	0,8
				-0,2
					-0,4
					-0,6
				Рис.10
										49

6. Корни характеристического уравнения комплексно сопряженные, с модулем большим единицы

Рассмотрим случай комплексно сопряженных корней и

соотношения
q1 = q2 >1.	(30)

Как и в п. 1.5, решение разностного уравнения представляется в форме (22), где вещественная и мнимая части коэффициента С1 находятся из (18) и (19) соответственно, величина r определяется по формуле (23), а значения ω и ψ выражаются зависимостями (24) и (25) соответственно.

Из условия (30) с учетом равенства (23) следует −b2 >1.

Поскольку обе части этого неравенства положительны, возведем их в квадрат и получим

b2 < −1.

(31)

Учтем также условия (27) и (28). Покажем на плоскости (b1, b2)

область значений, удовлетворяющую одновременно неравенствам

(27), (28) и (31) (рис. 11).

	b





=
2		-
		-
		1
		-
		-
		4b2
		1

Рис.11

Согласно теории динамических систем, описываемых разностными уравнениями второго порядка, комплексно сопряженным корням с модулем большим единицы соответствует

состояние равновесия типа неустойчивый фокус. Этому состоянию и
удовлетворяет изображенная на рис. 11 заштрихованная область
значений параметров b1, b2.
На рис. 12 изображены траектории движения системы с
параметрами b1= 0,8, b2= -1,5 для двух начальных условий.
			y210
			0,6
			0,4
			0	0,6	y110
-0,8	-0,6	-0,4	0,2	0,4
			-0,4
			-0,6
			Рис.12
7. Бифуркационная диаграмма состояний равновесия

Выполненный в п. 1.2–1.6 анализ позволяет установить зависимость характера состояний равновесия от параметров цифрового осциллятора на всей плоскости (b1, b2). Для этого надо

объединить рис. 2, 4, 6, 7, 9 и 11. Получаемая в результате картина, называемая бифуркационной диаграммой состояний равновесия, изображена на рис. 13.













	b
	b
=
2		-
			1
			b
		4		2
				1
				1

Рис.13

Необходимым и достаточным условием устойчивости состояния равновесия является неравенство q1,2 <1. На бифуркационной

диаграмме ему соответствует так называемый треугольник устойчивости АВС. Состоянию равновесия типа устойчивый фокус соответствуют комплексно сопряженые корни характеристического уравнения. Условием этого являются неравенства (22) и (23), т.е. этому условию отвечают точки плоскости (b1, b2), которые лежат

внутри параболы АОС. Состоянию равновесия типа устойчивый узел соответствуют вещественные корни характеристического уравнения. Это выполняется при условии (12).

Бифуркационная диаграмма позволяет наглядно судить об изменениях характера состояний равновесия в зависимости от изменений параметров b1, b2. Так, при b2 > 0 с увеличением параметра

b1 от отрицательных значений седло может перейти в узел

устойчивый или неустойчивый, который при дальнейшем увеличении b1 может опять перейти в седло и т.д. Значения параметров b1, b2, при

которых происходит переход из одной области в другую, называются бифуркационными. Это обстоятельство и определяет название диаграммы.

8. Корни характеристического уравнения комплексно сопряженные, с модулем равным единице

Рассмотрим критический случай комплексно сопряженных корней и соотношения

q1		=		q2		=1.	(32)

В соответствии с формулой (23) при этом имеем b2 = −1, r =1. На

бифуркационной диаграмме (рис. 13) этому случаю соответствует отрезок AC. Данный режим представляет собой незатухающие колебания, изменяющиеся по закону (см. (22))

y1 (n)= 2 C1 cos(ω0n +ψ ).

Здесь C1 находится с помощью выражения (26). Как и в аналоговом гармоническом осцилляторе, здесь ω0 – нормированная

резонансная частота гармонического цифрового осциллятора. Согласно (24) она равна

ω0 = arctg −b12 + 4 , b1

соответственно

cosω0	=	b1	.	(33)

	2

Согласно теории динамических систем, описываемых разностными уравнениями второго порядка, комплексно сопряженным корням характеристического уравнения с модулем равным 1 соответствует состояние равновесия типа центр.

Получим уравнение траекторий движения y2 =ϕ(y1 ). Введем замену 2 C1 =Y1 . При b2 = −1 матричное уравнение (9) принимает вид

	y1		(n +1)	0 1 y1				(n)
	y1		(n +1)	0 1 y1				(n)
Y (n +1)= y		2	(n +1)	= −1	b	y	2	(n) .
		2			1		2

Поскольку справедливо соотношение (7), т.е. y2 (n)= y1 (n +1), а y1 (n)=Y1 cos(ω0n +ψ ), то получим

	y2 (n)=Y1 cos(ω0n +ω0 +ψ ).			(34)
Преобразуем это выражение:
y2 (n)=Y1 cos(ω0n +ψ )cosω0 −Y1 sin (ω0n +ψ )sinω0				=
cosω0 y1 (n)−Y1 sinω0 sin (ω0n +ψ ).
Последнее выражение можно записать в виде
	y2 (n)−cosω0 y1 (n)	= −Y1 sin (ω0n	+ψ ).
	sinω0	= −Y1 sin (ω0n	+ψ ).
	sinω0

Поскольку имеем y1 (n)=Y1 cos(ω0n +ψ ), то, возведя в квадрат обе

части двух последних равенств и сложив почленно их левые и правые части, получим

y		2	(n)cosω	0	y	(n)	2
		2		0	1		+ y12 (n)=Y12 ,
			sinω0				+ y12 (n)=Y12 ,
			sinω0
или			(n)−cosω			(n) 2 +sin2 ω				(n)=Y 2 sin2
y	2		(n)−cosω		y	(n) 2 +sin2 ω		0	y2	(n)=Y 2 sin2	ω .
	2				0 1			0	1	1	0

Преобразуем это выражение:

y22 (n)−2cosω0 y1 (n)y2 (n)+cos2 ω0 y12 (n)+sin2 ω0 y12 (n)=

=Y12 sin2 ω0 ,

т.е.

y2	(n)−2cosω	0	y	(n)y	2	(n)+ y2	(n)=Y 2 sin2	ω	0	.
2		0	1		2	1	1		0

Учитывая, что из (33) следует b1 = 2cosω0 , получим, опускаяn,

y	2	−b y y		+ y	2	=Y	2	1−	b2	.	(35)
			2		2				1

1		1 1				1			4

Получили уравнение второй степени, описывающее линию (кривую) эллиптического типа.

Поворотом координатных осей на угол θ эту кривую можно привести к каноническому уравнению эллипса:

	x2	+	x2	=1,	(36)
	1		2
α2			β2
α2			β2
где (x1 , x2 ) – новая система координат, α и β					– большая и малая

полуоси эллипса соответственно. Преобразование координат определяется известной зависимостью:

=[C]X

или

cosθ

−sinθ x1

= sinθ

cosθ x

Здесь [C] – матрица вращения на угол θ . Преобразуем правую часть,

используя правило умножения матриц:

cosθ −sinθ x1

x1 cosθ − x2 sinθ

sinθ

cosθ x

= x sinθ

+ x

cosθ .

Следовательно, имеем

= cosθ

x −sinθ

= sinθ

2 .

x1 +cosθ

Возведем в квадрат обе части этих равенств:

y2	= cos2 θ	x2	−2cosθ	sinθ	x x		+sin2	θ	x2
1		1			1	2			2
y2	= sin2 θ	x2	+2cosθ	sinθ	x x		+cos2	θ	x2 .
2		1			1	2			2

Перемножив почленно левые и правые части, получим

y1 y2 = cosθ sinθ x12 +(cos2 θ −sin2 θ)x1x2 −sinθ cosθ x22 .

Подставив эти соотношения в левую часть уравнения (35), получим

x12 + x22 −b1 cosθ sinθ x12 +b1 cosθ sinθ x22 −

−b1 (cos2 θ −sin2 θ)x1x2 = 14 Y12 (4 −b12 ).

Для ликвидации перекрестного члена необходимо выполнение равенства

cos2 θ −sin2 θ = 0 , т.е.θ = ±π4 .

Положим, θ = π4 , что означает выполнение равенства cosθ sinθ = 12 .

С учетом этого получим уравнение траектории движения в новой системе координат


x12 + x22 −				b1	x12	+		b1		x22 =		1 Y12		(4 −b12 )
				2
или							2					4
		b					b					1
			2						2				2	2
1	−	1	x1	+	1	+	1		x2		=		Y1	(4 −b1	).
		2					2					4

Это уравнение приводится к каноническому виду (36), где

		1 Y12	(4 −b12 )					1 Y 2
α2 =	4					=			(2 +b ),
α2 =		1−b		2		=			(2 +b ),
		1−b		2				2 1	1
			1
		1 Y12	(4 −b12 )					1 Y 2
β2 =		4					=		(2 −b ).
β2 =		1+b		2			=		(2 −b ).
		1+b		2				2 1	1
			1
Таким образом, новая					координатная система (x1 , x2 )

оказывается повернутой относительно системы (y1, y2 ) на угол 45°.

В качестве иллюстрации на рис. 14 изображен график траектории движения в координатных системах (y1, y2 ) и (x1, x2 ).

	x						y	x1
	2						2
								45	y1
									y1
							Рис. 14
Напомним, что	величина					C1	(а следовательно,		и Y1 ) связана с
начальными условиями согласно формуле (26).
Определим y2max . Согласно (34) имеем
				y2 (n)=Y1 cos(ω0n +ω0 +ψ ),
следовательно,	y2 max			=Y1 .		Вследствие симметрии			эллипса имеем
y1max = y2 max =Y1 .
Выразим Y1 через параметр b1 и начальные условия.
Воспользуемся уравнением (35). Оно справедливо при любых n, в
том числе и n = 0, т.е.
y12 (0)−b1 y1 (0)y2 (0)+ y22 (0)								= 1 Y12 (4 −b12 ),
т.е.								4
т.е.					y12	(0)−b1 y1 (0)y2 (		0)+ y22 (0)
	1	Y	2	=	y12	(0)−b1 y1 (0)y2 (		0)+ y22 (0)	.
	4	Y		=			4 −b 2		.
	4	1					4 −b 2
							1
Это выражение соответствует (26) для C1								. Оно преобразуется к виду
									57

		y		(0)	+ y	2	(0) 2		y	(0)	− y	2	(0) 2
Y	=		1			2		+	1			2		.
Y	=							+						.
1				2	+b1					2 −b1
				2	+b1					2 −b1

Вкачестве иллюстрации на рис. 15 изображены траектории движения цифрового осциллятора с параметрами b1 = 0,684 , b2 = −1.

Вобщем случае произвольных начальных условий плоскость (y1 , y2 ) заполнена вложенными друг в друга эллипсами, за

исключением точки y1 = 0, y2 = 0 ; "проходящий" через эту точку

эллипс сам выражается в точку. Наличие на плоскости состояний замкнутых траекторий движения указывает на существование периодических движений. Следовательно, в окрестностях особой точки, соответствующей значению параметра b2 = −1, происходят

периодические движения с эллиптическими траекториями, соответствующими гармоническим колебаниям.

0,8 y2

0,6

0,4