колебаний в автономной рекурсивной системе второго порядка с характеристикой сумматора с насыщением.
9.При каких значениях коэффициентов b1 и b2 рекурсивная система второго порядка с характеристикой сумматора с насыщением может использоваться в качестве фильтра, генератора?
10.Чем обусловлена характеристика сумматора с насыщением?
Литература
1.Брюханов, Ю.А. Динамика цифровых колебательных систем : учеб. пособие / Ю.А. Брюханов ; Яросл. гос. ун-т. – Ярославль :
ЯрГУ, 2005. – 153 с.
2.Брюханов, Ю.А. Цифровые цепи и сигналы : учеб. пособие / Ю.А. Брюханов ; Яросл. гос. ун-т. – Ярославль : ЯрГУ, 1999. – 152 с.; 2005. – 154 с.
3.Брюханов, Ю.А. Устойчивые периодические режимы одной разностной модели цифрового фильтра с характеристикой типа насыщения / Ю.А. Брюханов, С. Д. Глызин // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. – 1995. – Т. 3, №4. – С. 53-61.
4.Брюханов, Ю.А. Переходные процессы в рекурсивной системе второго порядка с нелинейностью насыщения / Ю.А. Брюханов
//Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. – 1998. –
Т. 6, №2. – С. 28-34.
5.Брюханов, Ю.А. Динамика цифровой рекурсивной системы второго порядка с нелинейностью насыщения / Ю.А. Брюханов
//Известия вузов. Радиофизика. – 1998. – Т. 41, №4. – С. 534543.
6.Брюханов, Ю.А. Свободные колебания нелинейного осциллятора дискретного времени / Ю.А. Брюханов // Радиотехника и электроника. – 1998. – Т. 43, №6. – С. 677-681.
7.Брюханов, Ю.А. Периодические движения в цифровой рекурсивной системе второго порядка с нелинейностью насыщения / Ю.А. Брюханов // Известия вузов. Радиофизика. – 2000. – Т. 43, №1. – С. 59-65.
8.Брюханов, Ю.А. Периодические колебания в рекурсивной системе второго порядка дискретного времени с нелинейностью насыщения / Ю.А. Брюханов // Радиотехника и электроника. – 2001. – Т. 46, №3. – С. 320-323.
88
Лабораторная работа №5
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЦИФРОВОЙ РЕКУРСИВНОЙ СИСТЕМЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПИЛООБРАЗНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
Цель работы: изучение свободных колебаний в цифровой рекурсивной системе второго порядка с пилообразной характеристикой сумматора.
Теория
1. Исходные положения
Рассмотрим процессы в рекурсивной системе второго порядка с нелинейным сумматором в отсутствие внешнего воздействия. Структурная схема нелинейной рекурсивной системы второго порядка изображена на рис. 1. Эта схема отличается от структурной схемы линейного цифрового осциллятора только наличием блока f (ϕ), характеризующего нелинейность характеристики сумматора.
0 |
|
|
|
|
|
|
|
y1(n+2) |
|
|
|
|
|
|
f(ϕ) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z-1
b1
y1(n+1)
b2
z-1
y1(n)
Рис. 1
Полагаем, что сумматор имеет пилообразную характеристику, которая описывается функцией
f (ϕ) = (ϕ +1) mod 2 −1. |
(1) |
89
График функции f (ϕ) представлен на рис.2.
|
|
f |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
|
-3 |
-2 |
-1 |
1 |
2 |
3 |
|
I |
II |
|
III |
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
Рис.2 |
|
|
|
Свободные колебания в такой системе описываются разностным |
|||||
уравнением |
|
|
|
|
|
y1 (n +2)= f (b1 y1 (n +1)+b2 y1 (n)) |
(2) |
||||
с ненулевыми начальными условиями y1 (0) и/или y1 (1).
Динамические процессы в нелинейных системах второго порядка рассмотрим с помощью следующей методики. Характеристику сумматора разбиваем на три линейных участка, описываемых функциями f (ϕ) согласно табл. 1.
Таблица 1
Разбиение характеристики сумматора
|
|
|
|||
Участок |
Область значений ϕ |
Функция f (ϕ) |
|||
I |
[ |
|
|
) |
ϕ +2 |
|
|
−3; −1 |
|||
II |
|
[ |
|
) |
ϕ |
|
|
|
−1; 1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
III |
|
[ |
) |
ϕ −2 |
|
|
|
|
1; 3 |
|
|
Введем функцию y2 (n)= y1 (n +1). Процессы рассматриваем на плоскости состояний (y1 , y2 ), которую разобьем на области I, II, III,
соответствующие участкам характеристики сумматора. Расположение этих областей на плоскости состояний играет решающую роль в протекании динамических процессов.
Получим выражения для границ областей. Граница областей I и II может быть получена из условия
b2 y1 +b1 y2 = −1,
откуда следует
90
y2 = −b2 y1 − 1 . b1 b1
Назовем эту прямую MN . Заметим, что сама граница в случае пилообразной характеристики (нелинейности) принадлежит области II.
Соответственно уравнение границы областей II и III получим из условия
b2 y1 +b1 y2 =1,
откуда имеем
y2 = −b2 y1 + 1 . b1 b1
Назовем эту прямую PG . Сама граница принадлежит области III. Динамический режим характеризуется перемещением
изображающей точки на плоскости состояний. При этом принадлежность каждой начальной точки определенной области этой плоскости позволяет при известных значениях b1 и b2 однозначно
найти положение последующей точки, поскольку правило движения в каждой области задается исходным уравнением (2) с учетом данных о функции f (ϕ), содержащихся в табл. 1.
Следует отметить, что вид рассматриваемой нелинейности определяет особую роль на плоскости состояний (y1, y2 ) квадрата
A(1, 1)B (1, −1)C (−1, −1)D(−1, 1). Принадлежность |
углов этого |
квадрата определенным областям плоскости (y1, y2 ) |
обусловливает |
область параметров (коэффициентов) (b1 , b2 )с характерным видом
движений.
Если сумматор имеет пилообразную характеристику вида (1), то уравнения движения в областях I, II и III согласно (2) и табл. 1 соответственно имеют вид
y1 (n +1) = y2 (n)
y2 (n +1) =b2 y1 (n) +b1 y2 (n) +2,
y1 (n +1) = y2 (n)
y2 (n +1) =b2 y1 (n) +b1 y2 (n)
и
(3)
(4)
91