Заметим, что если граница областей −N, −N +1 проходит через
точку y1 = N , то в системе возможны состояние покоя с вероятностью |
||||||||||
P (0)=1 L |
и колебания с |
периодом |
T = 2 |
вида |
T = 2(Y1 −Y1 ), где |
|||||
1 |
[ |
] |
, |
с вероятностью |
P |
( 1 |
1 ) |
= 2 L . |
При |
этом согласно (1) |
Y |
1; N |
|
Y |
−Y |
||||||
выполняется условие
y1 = (1
2 − N )
b1 = N , т.е.b1 = −(N −1
2)
N .
Значит, такие колебания возможны в интервале значений коэффициента
−1 < b1 ≤ −(N −1 2) N . |
(5) |
Следует отметить, что выражения (2)–(5), связывающие мгновенные значения наиболее вероятных колебаний с величиной коэффициента b1 , определяют размер мертвой зоны цифрового
фильтра, реализуемого на базе рекурсивной системы. Эти выражения справедливы для произвольного количества уровней квантования L и связанного с ним количества разрядов M в представлении чисел.
3. Колебания при постоянном входном воздействии
Колебания в рекурсивной системе первого порядка при постоянном входном воздействии A описываются разностным уравнением
y2 (n +1) = f (b1 y1 (n) + А),
а функция последования имеет вид y2 = f (b1 y1 + A). При всех значениях коэффициента b1 график ее пересекается с осью ординат в
точке y2 = A .
Пусть b1 > 0 . Рассмотрим процессы при b1 = 4
5, A =1.
Определяемые из (1) уравнения границ областей плоскости состояний сведены в табл. 2. На рис. 5 обозначены эти области и построена диаграмма Ламерея.
113
|
|
|
|
|
N |
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
-1 |
0 |
|
2 |
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
-N -5 -4 -3 -2 -1 |
|
|
|
|
|
y1 |
||||||
|
y2=f(b1y1+A) |
|
|
-11 |
2 |
3 |
4 |
5 |
N |
|||
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-3 |
|
|
|
|
|
|
y 1 |
|
|
|
|
-4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2 |
|
|
|
|
|
-N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения границ областей при b1 = 4 5, A =1 |
Таблица 2 |
||||||||||
|
|
|
||||||||||
Уравнения |
|
|
|
|
Границы областей |
|
|
|
|
|||
границ |
-3, -2 |
-2, -1 |
-1, 0 |
0, 1 |
1, 2 |
2, 3 |
|
3, 4 |
4, 5 |
|||
y1 |
−35 8 −25 8 −15 8 −5 8 5 8 15 8 25 8 |
35 8 |
||||||||||
Данное |
отображение |
|
имеет |
простые |
неподвижные |
|||||||
(инвариантные) |
точки Y1 [3; |
4; 5; …; N ], |
которым |
соответствуют |
||||||||
колебания с периодом T =1 и мгновенными значениями |
y1 =Y1 . При |
|||||||||||
старте из точек |
y1 < 3 в системе устанавливается колебание T =1(3). |
|||||||||||
Значит, вероятности возможных колебаний следующие: |
при |
Y1 = 3 |
||||||||||
имеем P (3)= (N −4) |
L , при Y1 > 3 соответственно P (Y1 )=1 L . |
|
||||||||||
114 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
общем случае произвольного b1 > 0 и |
1 ≤ A < N |
наиболее |
вероятным является колебание T =1(Y1 ), где |
A <Y1 < N , |
если на |
|
диаграмме Ламерея точки Y1 и Y1 −1 принадлежат области Y1 (на рис. |
|||
5 точки |
y1 = 3 и y1 = 2 принадлежат области 3). Это |
означает |
|
выполнение условий
Y1 −1 2 ≤ b1Y1 + A <Y1 +1 2 ∩Y1 −1 2 ≤ b1 (Y1 −1)+ A <Y1 +1
2,
откуда следует
(Y1 −1
2 − A)
(Y1 −1)≤ b1 < (Y1 +1
2 − A)
Y1 .
При Y1 = A следует пользоваться соотношениями
0 < b1 <1
(2A).
Если Y1 = N , необходимо, чтобы на диаграмме Ламерея точка y1 = N −1 принадлежала области N . Этому соответствует условие
b1 ≥ (N −1
2 − A)
(N −1),
а верхним значением этого диапазона является b1 <1. В случае A = N , b1 (0; 1) единственно возможным является колебание вида T =1(N ).
Полученные выражения справедливы для произвольного
количества уровней квантования |
L и связанного с ним количества |
|||
разрядов M |
в |
представлении |
чисел и |
позволяют рассчитать |
зависимость Y1 (b1 ) |
при заданных значенияхM . |
|||
Пусть |
b1 < 0 . Рассмотрим |
процессы |
при b1 = −4 5 , A = 5. |
|
Определяемые из (1) уравнения границ областей плоскости состояний приведены в табл. 3. На рис. 6 обозначены эти области и построена диаграмма Ламерея. Данное отображение имеет единственную – простую – неподвижную точку Y1 = 3. Следовательно, вероятность
колебания T =1(3) равна1.
115
|
Уравнения границ областей при b1 = −4 5, A = 5 |
Таблица 3 |
||||||||
|
|
|||||||||
Уравнения |
|
|
|
|
Границы областей |
|
||||
границ |
|
1, 2 |
|
2, 3 |
|
|
3, 4 |
|
4, 5 |
5, 6 |
y1 |
|
35 8 |
25 8 |
|
15 8 |
|
5 8 |
−5 8 |
||
|
|
|
N |
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
y2=y1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
y2=f(b1y1+A) |
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
-11 |
|
|
|
|
|
y1 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
N |
|
|
|
|
|
|
Рис. 6 |
|
|
|
|
|
В общем |
случае |
произвольного |
b1 < 0 |
|
и 1 < A ≤ N |
наиболее |
||||
вероятным |
и |
единственно возможным является колебание вида |
||||||||
T =1(Y1 ), |
где |
1 <Y1 ≤ A , если |
на |
диаграмме |
Ламерея области Y1 |
|||||
принадлежат точки Y1 |
и Y1 −1 (что соответствует рис. 6, |
где точки |
||||||||
y1 = 3 и y1 = 2 |
принадлежат области3) или точки Y1 и |
Y1 +1. Это |
||||||||
означает выполнение условий |
|
|
|
|
|
|
||||
Y1 −1 2 ≤ b1Y1 + A <Y1 +1 2 ∩Y1 −1 2 ≤ b1 (Y1 −1)+ A <Y1 +1
2
или
Y1 −1 2 ≤ b1Y1 + A <Y1 +1 2 ∩Y1 −1 2 ≤ b1 (Y1 +1)+ A <Y1 +1
2,
откуда следуют соотношения
116