Выше мы убедились, что рассматриваемое отображение (1), (2) зависит от параметра b1. Следовательно, не нарушая общности,
можно считать
y1(n+1) = f [y1(n), b1], y2(n) = f [y1(n), b1].
Зависимость точечного отображения от параметров можно изобразить в виде так называемых параметрических или бифуркационных диаграмм состояний устойчивости и периодов колебаний. Их можно построить, используя информацию, полученную при проведенном выше анализе системы
Уравнения (1) и (2) можно исследовать и таким образом. Решение уравнения (1) имеет вид y1(n) = C1b1n, где С1 = y1(0). Состояния равновесия находятся из (1) и определяются равенством y1=b1y1 .
Возможны варианты :
1.| b1 | ≠ 1. Имеется единственное состояние равновесия в точке у1=0 (состояние покоя (Т = 0)).
2.b1 = 1. Имеется бесконечное множество состояний равновесия,
устойчивых нейтрально.
3. b1 = - 1. Существует бесконечное множество нейтрально
устойчивых циклов периода Т = 2.
Метод точечных отображений дает больше информации о процессах в рассматриваемой системе и более предпочтителен, особенно для изучения нелинейных систем.
2. Свободные колебания в нелинейной системе
Свободные колебания в нелинейной цифровой системе первого порядка описываются разностным уравнением
y1(n+1) = f (b1y1(n)) |
(3) |
при ненулевом начальном условии или
y2 (n) = f [b1y1(n)]. |
(4) |
Вид функции f(φ) определяется характеристикой сумматора.
10
Различают три вида нелинейной характеристики сумматора: характеристику с насыщением (рис.8)
|
ϕ |
|
при ϕ <1, |
(5) |
f (ϕ)= |
|
при ϕ ≥1, |
||
|
sign (ϕ) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
f(ϕ) |
|
|
|
|
1 |
|
|
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
Рис. 8 |
|
пилообразную характеристику (рис. 9)
f (ϕ)= (ϕ +1)(mod 2) −1 |
(6) |
f(ϕ)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
|
1 |
2 |
3 |
ϕ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11
и характеристику с обнулением (zeroing) (рис. 10) |
||
ϕ при ϕ ≤1, |
||
|
|
(7) |
f (ϕ) = |
0 при ϕ |
|
|
>1. |
|
|
|
|
f(ϕ) |
|
|
|
1 |
|
-1 |
0 |
1 |
|
|
ϕ |
|
-1 |
|
|
Рис. 10 |
|
Если выполняется условие |
|
|
df |
|
|
= |
|
b1 |
|
<1, |
|
|
|
|||||
dy1 |
y =0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
||
то в системе существует единственное состояние равновесия в начале координат. Это состояние асимптотически устойчиво независимо от вида характеристики. Остаются справедливы все приведенные в п. 1.1 рассуждения, относящиеся к случаю b1 <1. В других случаях
поведение системы зависит от вида характеристики сумматора. Рассмотрим их в отдельности.
12
|
Характеристика сумматора с насыщением |
|||||||
Рассмотрим случай |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
df |
= b1 >1. |
|
|
|
|
|
|
|
dy1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
При b1 > 1 |
отображение |
имеет |
три простые |
неподвижные точки: |
||||
неустойчивую Y1 = 0 и две суперустойчивые Y1 {−1; 1} |
(см. рис. 11). |
|||||||
Свойства устойчивости вытекают из теоремы Кенигса, а отсутствие |
||||||||
кратных неподвижных точек обусловлено следствием 1 теоремы 1 о |
||||||||
существовании и единственности кратных циклов одномерного |
||||||||
точечного отображения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
y |
= |
|
(b y ) |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
2 |
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
-1 |
0 |
|
|
|
|
y1 |
|
|
|
y1(0) |
1 |
|
2 |
||
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 11 |
|
|
|
|
|
|
При b1 < -1 отображение имеет три неподвижные точки: простую |
||||||||
неустойчивую в начале координат (на основании теоремы Кенигса) и |
||||||||
двукратные |
суперустойчивые |
неподвижные |
точки |
Y1 {−1; 1}, |
||||
образующие цикл периода T = 2 (см. рис. 12). |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |