Литература
1.Брюханов, Ю.А. Динамика цифровых колебательных систем : учеб. пособие / Ю.А. Брюханов ; Яросл. гос. ун-т. – Ярославль :
ЯрГУ, 1996. – 102 с.; 2005. – 153 с.
2.Бурд, В.Ш. Введение в динамику одномерных отображений : учеб. пособие / В.Ш. Бурд ; Яросл. гос. ун-т. – Ярославль :
ЯрГУ, 1998. – 82 с.
3.Брюханов, Ю.А. Цифровые цепи и сигналы : учеб. пособие / Ю.А. Брюханов ; Яросл. гос. ун-т. – Ярославль : ЯрГУ, 1999. – 152 с.; 2005. – 154 с.
4.Биркган, С.Е. Разностные уравнения : учеб. пособие / С.Е. Биркган, Ю.А. Брюханов ; Яросл. гос. ун-т. – Ярославль : ЯрГУ, 1994. – 63 с.
5.Брюханов, Ю. А. Свободные колебания в линейном цифровом осцилляторе / Ю.А. Брюханов // Радиотехника, – 1996. – №5. –
С. 46-50.
61
Лабораторная работа №4
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЦИФРОВОЙ РЕКУРСИВНОЙ СИСТЕМЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА С НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ НАСЫЩЕНИЯ
Цель работы: изучение свободных колебаний в цифровой рекурсивной системе второго порядка с характеристикой сумматора с насыщением.
Теория
1. Исходные положения
Рассмотрим процессы в рекурсивной системе второго порядка с нелинейным сумматором в отсутствие внешнего воздействия. Структурная схема нелинейной рекурсивной системы второго порядка изображена на рис. 1. Эта схема отличается от структурной схемы линейного цифрового осцилятора только наличием блока f (ϕ), характеризующего нелинейность характеристики сумматора.
0 |
|
|
|
|
|
|
|
y1(n+2) |
|
|
|
|
|
|
f(ϕ) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z-1
b1
y1(n+1)
b1
z-1
y1(n)
Рис. 1
Полагаем, что сумматор имеет характеристику с насыщением, которая описывается функцией
f (ϕ)= |
ϕ |
при |
|
ϕ |
|
<1, |
(1) |
|
|
||||||
при |
|
ϕ |
|
≥1. |
|||
|
|
||||||
|
sign (ϕ) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
График характеристики представлен на рис. 2.
62
|
|
f(ϕ) |
|
|
|
|
1 |
|
III |
|
|
|
|
|
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
ϕ |
|
I |
-1 |
II |
|
|
|
Рис. 2 |
|
|
Свободные колебания в такой системе описываются разностным уравнением
y1 (n + 2)= f (b1 y1 (n +1)+b2 y1 (n)) |
(2) |
с ненулевыми начальными условиями y1 (0) и/или y1 (1).
Динамические процессы в нелинейных системах второго порядка рассматриваем с помощью следующей методики. Характеристику сумматора разбиваем на три линейных участка, описываемых функциями f (ϕ) согласно табл. 1.
Таблица 1
Разбиение характеристики сумматора
|
|
|
|
Участок |
Область значений ϕ |
Функция f (ϕ) |
|
I |
|
≤ −1 |
−1 |
II |
( |
) |
ϕ |
|
|
−1, 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
III |
|
≥1 |
1 |
Введем функцию y2 (n)= y1 (n +1). Процессы рассматриваем на плоскости состояний (y1 , y2 ), которую разобьем на области I, II, III, соответствующие участкам характеристики сумматора. Расположение
63
этих областей на плоскости состояний играет решающую роль в протекании динамических процессов.
Получим выражения для границ областей. Граница областей I и II может быть получена из условия
b2 y1 +b1 y2 = −1,
откуда следует
y2 = −b2 y1 − 1 . b1 b1
Назовем эту прямую MN . Заметим, что сама граница для характеристики (нелинейности) с насыщением принадлежит области I.
Соответственно уравнение границы областей II и III получим из условия
b2 y1 +b1 y2 =1,
откуда имеем
y2 = −b2 y1 + 1 . b1 b1
Назовем эту прямую PG . Сама граница принадлежит области III. Динамический режим характеризуется перемещением
изображающей точки на плоскости состояний. При этом принадлежность каждой начальной точки определенной области этой плоскости позволяет при известных значениях b1 и b2 однозначно
найти положение последующей точки, поскольку правило движения в каждой области задается исходным уравнением (2) с учетом данных о функции f (ϕ), содержащихся в табл. 1.
Следует отметить, что вид рассматриваемой нелинейности определяет особую роль на плоскости состояний (y1, y2 ) квадрата
A(1, 1)B (1, −1)C (−1, −1)D(−1, 1). Принадлежность |
углов |
этого |
квадрата определенным областям плоскости (y1, y2 ) |
обусловливает |
|
область параметров (коэффициентов) (b1 , b2 )с характерным |
видом |
|
движений.
Если сумматор имеет характеристику с насыщением вида (1), то уравнения движения в областях I, II и III согласно (2) и табл. 1 соответственно имеют вид
64