y (n +1) = y |
|
(n) |
(5) |
1 |
2 |
|
|
y2 (n +1) = b2 y1 (n) +b1 y2 (n) −2. |
|
||
Рассмотрим возможные движения в системе.
2. Затухающие колебания |
|
||
Пусть b1 =b2 = 2 5 . |
Уравнения |
прямых MN и PG |
имеют |
соответственно вид |
y2 = −y1 5 2 . |
Соответствующее |
этому |
сочетанию параметров b1 , b2 расположение областей I–III на
плоскости состояний показано на рис. 3а.
Из этого рисунка видно, что квадрат ABCD полностью располагается в области II. Поскольку параметры b1 , b2 выбраны
внутри треугольника устойчивости, все движения стремятся к началу координат. Следовательно, система имеет единственное состояние равновесия – состояние покоя, и оно асимптотически устойчиво.
Определим область значений параметров (b1 , b2 ), когда на
плоскости состояний квадрат ABCD располагается в области II. Согласно табл. 1 для точки A выполняются условия
−1 < b1 +b2 <1,
т.е.
b2 > −b1 −1b2 < −b1 +1,
а для точки B имеем
−1 < −b1 +b2 <1,
т.е.
b2 > b1 −1b2 < b1 +1.
Нетрудно показать, что для точек C и D должны выполняться условия (6) и (7) соответственно. Искомая область параметров (b1 , b2 )
изображена заштрихованной на рис. 3б.
(6)
(7)
92
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
2 |
|
III |
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
1 |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
y1 |
|
|
|
|
|
G |
|
C |
-1 |
B |
|
|
|
|
II |
|
||
|
I |
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
-1 |
|
|
1 |
b1 |
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
Рис. 3 |
|
|
|
Вместе с тем в рекурсивной системе второго порядка с пилообразной нелинейностью даже при выборе параметров внутри треугольника устойчивости линейной системы (но за пределами заштрихованной области, изображенной на рис. 3б) при
93
определенных начальных условиях возникают свободные колебания с |
|||||||||||||
различными |
значениями |
периодов. |
Рассмотрим |
условия |
|||||||||
возникновения колебания с периодами T ={1; 2; 3}. |
|
|
|||||||||||
|
|
3. Свободные колебания с периодом T=1 |
|
|
|||||||||
|
Пусть области I–III расположены на плоскости состояний, как |
||||||||||||
показано на рис. 4, а изображающая точка стартует из области I. |
|||||||||||||
Согласно уравнениям (3) получим |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
y1 (1)= y2 (0) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
y |
2 |
(1)= b y |
2 |
(0)+b y (0)+2. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
1 |
A |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
0 |
1 |
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
III |
|
C |
|
|
|
-1 |
B |
II |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4 |
|
|
|
|
||
Если |
движение |
имеет |
период |
T =1, |
то |
должны |
выполняться |
||||||
следующие равенства: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
94
Y |
(1)=Y |
(0) |
Y |
(0)=Y |
(0) |
|
1 |
1 |
|
, т.е . 1 |
2 |
|
(0)+2. |
Y2 |
(1)=Y2 (0) |
Y2 |
(0)= b1Y2 (0)+b2Y1 |
|||
Решив эту систему уравнений, получим
y2 |
(0)= y1 (0)=Y2 |
(0)=Y1 |
(0)= |
|
|
2 |
|
. |
(8) |
1 |
−b1 |
|
|||||||
|
|
|
|
−b2 |
|
||||
Следовательно, инвариантные точки отображения, соответствующего колебаниям с периодом T =1, располагаются на участке биссектрисы
y2 = y1 , принадлежащем области I, а координаты их находятся из (8). |
|||||||
Определим |
область |
значений |
параметров |
(b1 , b2 ), |
|||
соответствующую этому движению. Согласно табл. 1 в области I |
|||||||
справедливо соотношение |
|
|
|
|
|
||
|
b1 y2 (0)+b2 y1 (0)< −1, |
(9) |
|||||
подставив в которое формулу (8), получим |
|
|
|||||
|
2 |
(b1 +b2 ) |
< −1. |
|
(10) |
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
1−b |
−b |
|
|
||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
Поскольку в области треугольника устойчивости выполняется неравенство
b2 < −b1 +1, т.е.1−b1 −b2 > 0 ,
преобразовав (10), имеем
b2 < −b1 −1.
Этому условию внутри треугольника устойчивости удовлетворяет показанная на рис. 5 область abc .
95