Последующий процесс описан выше. Таким образом, при выбранных значениях коэффициентов b1 и b2 динамический режим
характеризуется четырьмя суперустойчивыми инвариантными точками A , B , C и D . На выходе системы после окончания
переходных процессов имеем колебания с периодом T = 4 вида
→1 →1 → −1 → −1 →.
Определим область значений параметров (b1 , b2 ),
соответствующую данному расположению областей I–III на плоскости состояний. Для точки A выполняется условие (9), а для точки B – условие (8). Этим соотношениям удовлетворяет заштрихованная область на рис. 11б.
7. Сложные свободные периодические колебания
Осталось рассмотреть две области параметров (b1 , b2 ). Первая из них удовлетворяет условиям (6) и b2 < −1, а вторая область – условиям (7) и b2 < −1.
В качестве примера рассмотрим колебания в системе при b2 = 2, b2 = −1,5. При этом уравнения прямых MN и PG имеют соответственно вид
y2 = 0,75y1 0,5.
Вобщем случае прямая MN пересекает стороны квадрата ABCD
вточках
y |
= −1−b1 , |
y |
2 ГР |
= −1+b1 . |
(12) |
1ГР |
b2 |
|
b2 |
|
|
1 |
|
1 |
|
||
|
|
|
|
||
Координаты точек |
y1ГР2 и |
y2 ГР2 |
пересечения прямой PG с |
||
квадратом отличаются от соответствующих в (12) только знаками. |
|||||
В рассматриваемом примере имеем |
y1ГР = −0,67 , |
y2 ГР = 0, 25. |
|||
|
|
|
|
1 |
1 |
Расположение областей |
I-III на плоскости состояний |
показано на |
|||
рис. 12а.
Пусть изображающая точка стартует из точки А, тогда
y1 (0) = 1y2 (0) =1.
80
|
|
|
y2 |
|
G |
|
|
|
|
||
|
|
|
y1ГР2 |
|
|
D |
|
|
|
A |
|
|
|
1 |
|
||
|
III |
|
II |
|
N |
-1 |
|
|
|
|
y2ГР |
y2ГР2 |
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
1 |
||
P |
|
|
I |
|
|
C |
y1ГР1 |
|
-1 |
|
B |
M |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
y1ГР1 |
|
y2 |
|
G |
|
|
||||
|
1 |
|
|||
D |
|
|
A |
||
|
|
|
|
|
|
P y |
|
I |
|
N |
|
|
2ГР2 |
0 |
|
1 |
|
-1 |
III |
|
II |
|
y2ГР1 |
|
|
|
|
||
C |
|
|
-1 y1ГР |
|
B |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
б)
Рис. 12
y1
y1
Поскольку эта точка принадлежит области II, воспользовавшись (4), получим
y1 (1) = y2 (0) =1
y2 (1) = b1 y2 (0) +b2 y1 (0) = 0,5.
81
Изображающая точка переместилась на отрезок Ay2 ГР1 и осталась в области II, значит,
|
y (2) = y |
|
(1) = 0,5 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
y2 (1) =b1 y2 (1) +b2 y1 (1) = − 0,5. |
|
||||
Изображающая |
точка |
переместилась |
в треугольник y2 ГР |
By1ГР |
||
|
B ), |
|
|
|
1 |
1 |
(обозначим его |
принадлежащий |
области I. Следовательно, |
||||
согласно (3) получим |
|
|
|
|
|
|
y1 (3) = y2 (2) = −0,5y2 (3) = − 1.
Изображающая точка переместилась на отрезок By1ГР1 , поэтому
y (4) = y |
|
(3) = − 1 |
1 |
2 |
|
y2 (4) = − 1. |
||
Изображающая точка переместилась в точку С. Поскольку она принадлежит области II, получим
y (5) = y |
|
(4) = − 1 |
|
||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
y2 (5) =b1 y2 (4) +b2 y1 (4) = − 0,5. |
|
||||||
Изображающая точка переместилась на отрезок Сy2 ГР2 |
и осталась в |
||||||
области II, значит, |
|
|
|
|
|
|
|
y (6) = y |
|
(5) = − 0,5 |
|
||||
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
y2 (6) = b1 y2 (5) +b2 y1 (5) = 0,5. |
|
||||||
Изображающая точка переместилась в треугольник |
y2 ГР2 Dy1ГР2 |
||||||
(обозначим его D ), принадлежащий области III. Следовательно, |
|||||||
согласно (5) получим |
|
|
|
|
|
|
|
y (7) = y |
|
(6) = 0,5 |
|
||||
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
y2 (7) =1. |
|
|
|||||
82
Изображающая точка переместилась на отрезок Dy1ГР2 , поэтому
y1 (8) = y2 (7) =1 = y1 (0)y2 (8) =1 = y2 (0).
Таким образом, изображающая точка снова оказалась в точке А. Далее процесс повторяется. Этот колебательный процесс с периодом Т = 8 характеризуется следующей траекторией:
→ A → Ay2 ГР |
→ B → By1ГР |
→C →Cy2 ГР |
2 |
→ D → Dy1ГР |
→. |
1 |
1 |
|
|
2 |
При старте из точек плоскости состояний, не принадлежащих вышеуказанной траектории движения, изображающая точка за конечное число итераций переходит в одну из инвариантных точек. Далее устанавливаются колебания с периодом Т = 8.
Следовательно, при выбранных значениях коэффициентов b1 и b2 динамический режим характеризуется восемью суперустойчивыми
инвариантными точками и на выходе системы после окончания переходных процессов имеем колебания с периодом Т = 8 вида
→1 →1 →0,5 → − 0,5 → − 1 → − 1 → − 0,5 → 0,5 →.
Аналогичным образом можно рассмотреть колебания и при других сочетаниях коэффициентов, выбранных в первой области. В результате данная область параметров разбивается на множество подобластей с определенными периодами суперустойчивых колебаний. Спектр периодов колебаний достаточно широк (от единиц до сотен). Качественно бифуркационная диаграмма первой области показана на рис. 13.
Пользуясь данной методикой, можно рассмотреть колебания, возникающие в системе при выборе ее коэффициентов и во второй области параметров. На рис. 12б приведен пример расположения областей I-III на плоскости состояний при b1 = − 2 и b1 = −1,5 . И
вторая область разбивается на множество подобластей с определенными периодами суперустойчивых колебаний с широким спектром периодов. Бифуркационные диаграммы первой и второй областей параметров симметричны относительно оси ординат (см.
рис .13).
83