Частотные критерии устойчивости

Перед решением задач необходимо изучить разделы 3.7.2, 3.7.3, 3.7.4 учебного пособия /1/.

Пример 3. Построить годографы Михайлова для системы автоматического регулирования, имеющей характеристическое уравнение третьего порядка и проанализировать устойчивость, если ее параметры имеют следующие значения /5/:

а) Т₁ = 0,05 с; Т₂ = 0,5 с; К = 2,2 1/с;

б) Т₁ = 0,05 с; Т₂ = 0,5 с; К = 22 1/с;

в) Т₁ = 0,05 с; Т₂ = 0,5 с; К = 220 1/с.

Решение. Определим вещественную и мнимую части характеристического уравнения D(j):

2354235\* MERGEFORMAT (.)

Подставляя в выражение 4235 числовые значения параметров системы, найдем:

2364236\* MERGEFORMAT (.)

2374237\* MERGEFORMAT (.)

2384238\* MERGEFORMAT (.)

Задаваясь различными значениями  (рис. 4.26, кривая 1) в логарифмическом масштабе, построим по формулам 4236 годограф Михайлова. При n = 3 годограф проходит последовательно три квадранта против часовой стрелки. Это указывает на то, что данная система автоматического регулирования устойчива при К = 2,2.

Рис. 4.35. Годографы Михайлова

На рис. 4.26 (кривая 2) в логарифмическом масштабе построен годограф Михайлова по формулам 4237. Как видно из рисунка, годограф проходит через начало координат. Это указывает на то, что при К = 22 система автоматического регулирования находится на границе устойчивости.

При К = 220 годограф Михайлова 4238 проходит два квадранта первый и четвертый (см. рис. 4.26, кривая 3). При этом нарушается последовательность обхода, что указывает на неустойчивость системы автоматического регулирования.

4.10.6. Построить годографы Михайлова и проанализировать устойчивость системы автоматического регулирования, имеющей характеристическое уравнение

при следующих параметрах:

а) а₀ = 0,41410^-6; а₁ = 0,38810^-3; а₂ = 3,4710^-2; а₃ = 1,83 а₄ = 58; а₅ =380;

б) а₀ = 0,52810^-5; а₁ = 0,4210^-3; а₂ = 5,2410^-2; а₃ = 2,21; а₄ = 620; а₅ =380;

в) а₀ = 0,41410^-6; а₁ = 0,38810^-3; а₂ = 3,4710^-2; а₃ = 1,83 а₄ = 58; а₅ =4200;

Указание: Кривые Михайлова строить в логарифмическом масштабе от =1 1/с до =1000 1/с /5/.

4.10.7. Построить годографы Михайлова для четырех систем автоматического регулирования, имеющих следующие характеристические уравнения:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Проанализировать устойчивость системы регулирования /5/.

4.10.8. Исследовать на устойчивость с помощью годографов Михайлова (по параметру К) системы автоматического регулирования, имеющие передаточные функции /5/:

а)

при К = 10 1/с; К = 100 1/с;

б)

при К = 1000 1/с; К = 40000 1/с;

в)

при К = 50 1/с; К = 500 1/с;

г)

при К = 1 1/с; К = 10 1/с;

Пример 4. Исследовать устойчивость одноконтурной системы автоматического регулирования с помощью логарифмических амплитудных и фазовых частотных характеристик, если передаточная функция системы в разомкнутом состоянии имеет вид

, 2394239\* MERGEFORMAT (.)

где T₁ = 30000 c; T₂ = 250 c; T₃ = 28 c; T₄ = 2,88 c; T₅ = 0,71 c; T₆ = 0,025 c; T₇ = 0,01 c /5/.

При построении частотных характеристик следует брать шесть значений передаточного коэффициента К (К₁ = 126010⁶; К₂ = 19,9510⁶; К₃ = 1,7810⁶; К₄ = 0,1310⁶; К₅ = 1,4210³; К₆ = 27).

Определить запасы устойчивости системы регулирования по фазе и модулю.

Решение. На рис. 4.27 построены логарифмические амплитудная H₁() (кривая 1) и фазовая () (кривая 7) частотные характеристики при К = К₁ = 126010⁶ с помощью передаточной функции 4239 при s = j. В соответствии с критерием устойчивости Михайлова-Найквиста замкнутая система будет устойчива если для разомкнутой системы выполняется соотношение:

, 2404240\* MERGEFORMAT (.)

где - число переходов логарифмической фазовой частотной характеристики - оси - - вверх (принимается за положительное) при ; - число переходов логарифмической фазовой частотной характеристики оси - - вниз (принимается за отрицательное) при ; m_р – число полюсов разомкнутой системы в правой полуплоскости.

Из выражения 4239 следует, что m_p = 0 (все звенья устойчивые).

По рис. 4.27 устанавливаем, что на участке, ограниченном слева прямой VI – VI, где имеем и .

Тогда по формуле 4240 найдем 1 + 1 - 1 - 1 – 1 ≠ 0. Последнее указывает на неустойчивость системы автоматического регулирования в замкнутом состоянии при принятом нами коэффициенте усиления К₁.

Уменьшим коэффициент усиления системы К до К₂ = 19,9510⁶ тогда на участке слева от прямой V-V (рис. 4.27) имеем и , следовательно, 2 - 2 = 0. В этом случае обеспечивается устойчивость системы автоматического регулирования. Запасы ее устойчивости по фазе _c=54^o и модулю H_M2 =16 дБ и -H_M2 =14 дБ обеспечивают высокую стабильность системы даже при значительном диапазоне изменения параметров.

Рис. 4.36. Логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики

Снова уменьшим коэффициент усиления системы К до К₃ = 1,7810⁶. В этом случае логарифмическая амплитудная частотная характеристика будет иметь вид кривой 3, и на участке слева от прямой IV-IV найдем , а так как 1 – 2 ≠ 0, то система автоматического регулирования при этом коэффициенте усиления становится неустойчивой.

При дальнейшем уменьшении коэффициента усиления системы до К₄ = 0,1310⁶ система снова становится устойчивой (кривая 4), так как на участке слева от прямой III - III имеем 1 – 1 = 0. Эта система обладает запасами устойчивости по фазе _c=18^o и модулю H_M2 =18 дБ; -H_M2 =-14 дБ, обеспечивающим и ее высокую стабильность.

Уменьшим коэффициент К до К₅ = 1,4210³. Это снова приводит к неустойчивости системы, так как условие 4240 на участке слева от II - II не соблюдается и -1 ≠ 0. При K₆ = 27 имеем устойчивую систему, так как на участке слева от I – I имеем 0 = 0 и _c=64^o и модулю H_M2 = дБ; -H_M2 =-18 дБ.

4.10.9. Исследовать устойчивость одноконтурной системы автоматического регулирования с помощью логарифмических амплитудных и фазовых частотных характеристик, если передаточная функция разомкнутой системы , где Т₁ = 3,33 с; Т₂ = 1,1 с; Т₃ = 0,04 с; Т₄ = 0,01 с.

Пусть коэффициент усиления имеет следующие значения:

а) К₁ = 0,1 1/с²;

б) К₂ = 10 1/с²;

в) К₃ = 1000 1/с².

Определить запасы устойчивости системы регулирования по фазе и модулю /5/.

4.10.10. Исследовать устойчивость одноконтурной системы автоматического регулирования с помощью логарифмических амплитудных и фазовых частотных характеристик, если передаточная функция , где Т₁ = 25 с; Т₂ = 5 с; Т₃ = 0,5 с; Т₄ = 0,02 с; Т₅ = 0,025 с, а коэффициенты усиления К₁ = 100; К₂ = 40000.

Определить запасы устойчивости системы регулирования по фазе и модулю /5/.

4.10.11. Исследовать устойчивость одноконтурной системы автоматического регулирования, если передаточная функция разомкнутой системы , где

а) Т₁ = 0,5 с; Т₂ = 0,2 с; Т₃ = 0,01 с; Т₄ = 0,005 с; К = 100 1/с³;

б) Т₁ = 2 с; Т₂ = 0,2 с; Т₃ = 0,01 с; Т₄ = 0,005 с; К = 10000 1/с³ /5/.

4.10.12. Исследовать устойчивость одноконтурной системы автоматического регулирования изменяя два параметра К и Т₂ если передаточная функция разомкнутой системы , где Т₁ = 25 с; Т₃ = 0,02 с; Т₄ = 0,001 с. /5/

Пример 5. Определить значения критической частоты _кр и постоянной «чистого» запаздывания _кр для системы автоматического регулирования, имеющей передаточную функцию вида

, 2414241\* MERGEFORMAT (.)

где Т₁ = 0,5 с; Т₂ = 0,05 с; Т₃ = 0,01 с; К = 10. /5/

Решение. 1-й способ. Из выражения 4241 найдем

2424242\* MERGEFORMAT (.)

Приравняв H() единице, получим

2434243\* MERGEFORMAT (.)

откуда с помощью формул Кардана определим

, 2444244\* MERGEFORMAT (.)

где

Подставив в выражение 4244 числовые значения, найдем _кр = 15,54 1/с.

Фазовые соотношения можно записать в виде

. 2454245\* MERGEFORMAT (.)

Для принятых числовых значений имеем

2-й способ. Подставим в передаточную функцию 4241 и построим логарифмические амплитудную и фазовую (без учета звена запаздывания) частотные характеристики (рис. 4.28). Из рис. 4.28 найдем 1/с. Запас устойчивости системы по фазе _с должен быть сведен к нулю значением фазы

2464246\* MERGEFORMAT (.)

Д ля нашего случая имеем _с = 52^о и Значение _, определенное графическим способом, совпадает с величиной, полученной ранее аналитически.

Результирующая фазовая частотная характеристика при данном  пересекает ось -180^о при частоте _с = _кр.

4.10.13. Определить значения критической частоты _кр и постоянной «чистого» запаздывания _кр для системы автоматического регулирования, имеющей передаточную функцию вида , где К = 20 1/с; Т₁ = 1 с; Т₂ = 0,4 с; Т₃ = 0,01 с. /5/

4.10.14. Найти математические зависимости для определения значении критической частоты _кр и коэффициента усиления К системы автомати­ческого регулирования с передаточной функцией , находящейся на границе устойчивости /5/.

Указание: .

4.10.15. Найти математические зависимости для определения критической частоты _кр и коэффициента усиления К системы автоматического регулирования с передаточной функцией , находящейся на границе устойчивости /5/.

4.10.16. Определить значения критической частоты _кр и постоянной чистого запаздывания _кр с помощью логарифмических частотных характеристик для системы автоматического регулирования, имеющей передаточную функцию вида

,

где К = 2,5; Т₁ = 100 с; Т₂ = 24,4 с; Т₃ = 14 с; Т₄ = 8,1 с; Т₅ = 0,05 с. /5/