4. Определение дифференциальных уравнений и передаточных функций стационарных систем с распределенными параметрами

Перед решением задач необходимо изучить раздел 2.2.3 учебного посо­бия /1/.

Пример. Вывести дифференциальные уравнения и определить передаточную функцию гидравлической турбины, к рабочему колесу которой поступает вода через длинную трубу. Упрощенная схема гидравлической турбины показана на рис. 4.9. /5/

Рис. 4.21. Гидравлическая турбина

Решение. Уравнения, описывающие динамические процессы, протекающие в трубе, записываются в виде

1954195\* MERGEFORMAT (.)

где y - гидравлический напор; x - расстояние от водоема до интересующего нас сечения (в данном случае направляющих гидротурбины); a - скорость рас­пространения гидравлического удара; g - ускорение силы тяжести.

Используя преобразование Лапласа, записываем систему уравнений 4195 в виде

1964196\* MERGEFORMAT (.)

При граничных условиях:

при

при 1974197\* MERGEFORMAT (.)

решение (4.29) записывается в виде

1984198\* MERGEFORMAT (.)

Введя обозначения:

, 1994199\* MERGEFORMAT (.)

запишем передаточную функцию трубы в виде

. 2004200\* MERGEFORMAT (.)

В относительных переменных уравнение расхода воды имеет вид

, 2014201\* MERGEFORMAT (.)

где v(t) и y(t) - соответственно скорость воды и ее напор у направляющих; z(t) - отклонение направляющих. Линеаризуя уравнение 4201, получим

. 2024202\* MERGEFORMAT (.)

Применим к уравнению 4202 преобразование Лапласа. Тогда

2034203\* MERGEFORMAT (.)

Подставим в уравнение 4203

2044204\* MERGEFORMAT (.)

найдем:

. 2054205\* MERGEFORMAT (.)

Из уравнения 4205 определим

2064206\* MERGEFORMAT (.)

Введем в выражение 4206 следующие обозначения:

Тогда получим

. 2074207\* MERGEFORMAT (.)

Уравнение движения рабочего колеса турбины запишем в виде

2084208\* MERGEFORMAT (.)

где J - момент инерции рабочего колеса; _k - частота вращения рабочего колеса;  - коэффициент пропорциональности; - установившиеся значения момента сопротивления; M_c[1] - мгновенный сброс нагрузки на гидротурбине.

Линеаризуя уравнение 4208, получим

2094209\* MERGEFORMAT (.)

Для установившегося состояния

Учитывая это выражение, уравнение 4209 перепишем в виде

2104210\* MERGEFORMAT (.)

Введем в последнее уравнение следующие обозначения:

тогда получим

. 2114211\* MERGEFORMAT (.)

Применяя к этому уравнению преобразование Лапласа, найдем

2124212\* MERGEFORMAT (.)

Подставляя в последнее уравнение соотношение 4207, запишем

2134213\* MERGEFORMAT (.)

или

. 2144214\* MERGEFORMAT (.)

Окончательная форма передаточных функций гидротурбины с длинной трубой, подающей воду к рабочему колесу, будет иметь вид

2154215\* MERGEFORMAT (.)

4 .4.1. Вывести дифференциальные уравнения движения и определить передаточную функцию пневматического силового цилиндра с пружиной и длинным воздуховодом между пневмораспределителем 1 и цилиндром 2 (рис. 4.11). /5/

4.4.2. Вывести дифференциальные уравнения и определить передаточную функцию химического реактора с паровым подогревом по температуре воды в зависимости от расхода пара. Упрощенная схема установки показана на рис. 4.10. /5/

Указание. Уравнение между расходом пара и температурой воды в реакторе составлять из условия теплового баланса. Потерями тепла через наружную рубашку реактора можно пренебречь.