Синтез систем автоматического управления с наблюдателем пространственного состояния
Цель работы. Усвоение навыков формирования алгоритмов управления в форме пространства состояний при неполной обратной связи.
После выполнения работы необходимо знать:
Основные понятия и определения.
Методы построения систем с неполной обратной связью.
Виды наблюдателей пространственного состояния.
Теоретические сведения.
Перед началом выполнения работы целесообразно ознакомится с разделом 5.5. учебного пособия /1/. Ниже приводятся краткие теоретические сведения, достаточные для выполнения лабораторной работы.
Синтез алгоритмов управления размещением
полюсов, а также синтез оптимальных
систем, подразумевает, что все переменные
состояния объекта могут быть измерены,
т.е. в указанных системах должна
использоваться полная обратная связь
по состоянию
.
Однако в некоторых объектах, вектор
x(t)
может быть полностью или частично не
доступен для использования в управлении.
В этом случае недоступные для измерения
переменные вектора должны быть оценены,
в результате некоторого наблюдения за
объектом. Структурная схема такой
системы приведена на рис. 1.16.
Предположим /4/, что задана непрерывная система с одним входом и одним выходом
, 83183\* MERGEFORMAT (.)
а также, что все компоненты вектора
состояния x(t)
недоступны для непосредственного
измерения. Таким образом, для реализации
алгоритма управления, необходима оценка
вектора x(t),
которую обозначим
.
В процессе оценки, будем использовать
всю доступную информацию, а именно
сигнал управления u(t)
и выходной сигнал y(t).
Кроме того, предполагается что точно
известны матрицы А, В и
С.
Устройство оценки состояния, чаще называемое наблюдателем, должно иметь ту же динамику, что и наблюдаемая система. Это позволяет записать уравнение наблюдателя в виде
, 84184\* MERGEFORMAT (.)
где F, H и G – матрицы, выбор которых должен обеспечить точную оценку вектора состояния. Иными словами, правильный выбор матриц F, H и G должен обеспечить выполнение условия
. 85185\* MERGEFORMAT (.)
Рис. 1.13. Структурная схема системы управления с наблюдателем состояния
Преобразовав по Лапласу уравнения 183, получим
, 86186\* MERGEFORMAT (.)
откуда
. 87187\* MERGEFORMAT (.)
Аналогично преобразовав по Лапласу уравнение наблюдателя 184, получим
, 88188\* MERGEFORMAT (.)
откуда
. 89189\* MERGEFORMAT (.)
Учитывая, что
преобразуем уравнение 189 к виду
. 90190\* MERGEFORMAT (.)
С учетом 185 получим
. 91191\* MERGEFORMAT (.)
Несложные математические преобразования
(группировка коэффициентов при члене
)
позволяют представить 191 в виде
. 92192\* MERGEFORMAT (.)
Из последнего выражения видно, что условие 185 будет выполняться если
, 93193\* MERGEFORMAT (.)
или
. 94194\* MERGEFORMAT (.)
Последнее уравнение удовлетворяется если принять
. 95195\* MERGEFORMAT (.)
Следует отметить, что если матрицы H и F соответствуют 195, то условие 185 будет выполняться вне зависимости от матрицы G, которая обычно выбирается из условия, что быстродействие наблюдателя должно быть в 2–4 раза выше быстродействия системы.
Для определения матрицы G представим уравнение наблюдателя в виде:
. 96196\* MERGEFORMAT (.)
Откуда характеристическое уравнение наблюдателя:
. 97197\* MERGEFORMAT (.)
Назначив полюсы наблюдателя, отвечающие требуемому быстродействию, запишем желаемое характеристическое уравнение наблюдателя:
. 98198\* MERGEFORMAT (.)
Чтобы наблюдатель соответствовал требуемому быстродействию, матрица G должна удовлетворять уравнению
. 99199\* MERGEFORMAT (.)
Решение 199 относительно G, может быть представлено в виде:
. 1001100\* MERGEFORMAT (.)
Таким образом, уравнение 196 совместно с 1100 позволяют синтезировать наблюдатель, отвечающий требуемому быстродействию.