13. Синтез оптимальных систем автоматического управления с полной обратной связью

Цель работы. Изучение способов оптимизации процессов управления.

После выполнения работы необходимо знать:

• Понятия оптимального управления и основные критерии оптимизации.

• Метод синтеза оптимальных систем автоматического управления при бесконечном интервале оптимизации.

Теоретические сведения

Перед началом выполнения работы целесообразно ознакомится с разделом 5.5. учебного пособия /1/. Ниже приводятся краткие теоретические сведения, достаточные для выполнения лабораторной работы.

Требования устойчивости и качества процессов можно описывать в неявной форме как экстремали тех или иных функционалов. Наиболее часто применяют интегральные квадратичные функционалы вида

, 78178\* MERGEFORMAT (.)

где f⁰ и F – заданные непрерывно дифференцируемые функции, x(t) – вектор переменных состояния, u(t) – вектор управляющих воздействий. Таким образом, каждой паре {u(t), x(t)} – ставится в соответствие числовая характеристика (критерий) J(x,u), определяющая качество управления объектом. К числу таких критериев относятся интегральные характеристики определяющие:

динамическую точность	;
терминальную точность	;
энергозатраты	;
быстродействие системы	,

где Q и P_f – неотрицательно определенные симметрические матрицы.

Вместе с тем, по отдельности, вышеперечисленные показатели не позволяют дать полную оценку качества системы, и поэтому на их основе формируются более сложные (комбинированные) критерии, дающие относительно полную картину, позволяющую оценить качество управления. К числу таких комбинированных оценок относится критерий, одновременно характеризующий динамическую точность системы и энергозатраты на управление

79179\* MERGEFORMAT (.)

где Q(t) и  – неотрицательно определенные симметричные матрицы, а R(t) – положительно определенная симметричная матрица.

Задача синтеза оптимальных систем заключается в нахождении управления u(t), доставляющего минимум функционалу качества J(x,u).

Достаточным условием минимума функционала 178 является уравнение Беллмана для непрерывных детерминированных систем.

Если объект управления описывается обыкновенным дифференциальным уравнением

и существует функция (t,x) удовлетворяющая уравнению Беллмана с граничными условиями

80180\* MERGEFORMAT (.)

а также управление , удовлетворяющее условию

, 81181\* MERGEFORMAT (.)

то является оптимальным управлением с полной обратной связью, минимизирующим функционал качества 178.

Если уравнения, описывающие поведение объекта управления имеют вид

а функционал качества имеет вид 179, то уравнение Беллмана примет вид

.

В соответствии с 181, управление, доставляющее минимум функционалу 179 должно удовлетворять уравнению

,

а алгоритм управления ищется в виде

u(t)=Kx(t),

где, при t_f =, К=-R^-1B^ТР – матрица постоянных коэффициентов цепи обратной связи, а Р – матрица, являющаяся решением алгебраического уравнения Риккати

A^ТР+РА–РВR^-1B^TP = -Q.