7. Преобразование структурных схем, представленных моделями «вход-состояние-выход»

Структура и матрицы систем выдаются преподавателем индивидуально. Здесь приводятся примеры решения типовых задач преобразования структурных схем в пространстве состояний.

Системы, образующие параллельное соединение (рис.4.25,а), описываются уравнениями:

первая система:

где n₁ = 2, r₁ = 2, k₁ = 1;

вторая система:

,

где n₂ = 1, r₂ = 2, k₂ = 1, A₂ = 1, B₂ = (1 -2), C₂ = 3.

Требуется записать уравнение эквивалентной системы /6/.

Рис. 4.34. Структурные схемы параллельного а), встречно параллельного б) и последовательного в) соединения звеньев

Условия соединения k₁ = k₂ =1, r₁ = r₂ = 2 выполняются, что позволяет записать уравнения эквивалентной системы

,

где n = n₁ + n₂ = 3, r = r₁ + r₂ = 2, k = k₁ = k₂ = 1.

а). Последовательное соединение (рис. 4.25, в). Условие соединения , r₂ = k₁. В соответствии с рис.4.25, получаем: , y = y², k = k₂, g = g¹, r = r₁. Тогда, эквивалентная система имеет вид

2254225\* MERGEFORMAT (.)

Полагая , n = n₁ + n₂, получаем матрицы

эквивалентной системы размера , , соответственно.

Системы, образующие последовательное соединение (рис.4.25, в), описываются уравнениями:

первая система:

где n₁ = 1, r₁ = 1, k₁ = 2, A₁(t) = 1, B₁(t) = 1, ;

вторая система:

где n₂ = 2, r₂ = 2, k₂ = 1.

Требуется записать уравнения эквивалентной системы /6/.

Условие соединения r₂ = k₁ выполняется. Согласно 4225 эквивалентная система имеет вид

,

где n = n₁ + n₂ = 3, r = r₁ = 1, k = k₂ = 1, g = g₁¹.

б). Соединение с обратной связью (рис. 4.25, б). Условия соединения: g¹ = g ± y², g² = y¹, r = r₁ = k₂, r₂ = k₁ выполняются. В соответствии с рис.4.25, б g¹ = g ± y² = g ± C₂x², g² = C₁x¹. Тогда эквивалентная система имеет вид

2264226\* MERGEFORMAT (.)

Полагая , n = n₁ + n₂, получаем матрицы

эквивалентной системы размера , , соответственно. Знак «плюс» - для положительной, а знак «минус» - для отрицательной обратной связи.

Системы, образующие соединение с отрицательной обратной связью, описываются уравнениями:

первая система:

где n₁ = 2, r₁ = 1, k₁ = 2;

вторая система:

где n₂ = 2, r₂ = 2, k₂ = 1.

Требуется записать уравнения эквивалентной системы /6/.

Условия соединения r₂ = k₁ = 2, r₁ = k₂ = 1 выполняются. Согласно 4226 эквивалентная система имеет вид

где n = n₁ + n₂ = 4, r = r₁ = k₂ = 1, k = k₁ = 2.

10. Исследование устойчивости линейных стационарных систем автоматического управления на основе критериев устойчивости

Перед решением задач необходимо изучить раздел 3.7. учебного пособия /1/.

Алгебраические критерии устойчивости

Перед решением задач необходимо изучить раздел 3.7.1. учебного пособия /1/.

Пример 1. Исследовать на устойчивость с помощью критерия Гурвица систему автоматического регулирования, характеристическое уравнение которой имеет вид /5/:

2274227\* MERGEFORMAT (.)

Решение. Первый способ. Так как характеристическое уравнение 4227 имеет 6-й порядок, то

, 2284228\* MERGEFORMAT (.)

где а₆ = 24 ≠ 0.

Составим определитель Гурвица в виде

2294229\* MERGEFORMAT (.)

Образуем по нему недостающие четыре минора:

;

;

;

.

Так как все миноры положительны, то система автоматического регу­лирования устойчива.

Второй способ. Определитель 4229 приведем к треугольному виду следующим образом. Умножая элементы 1, 3 и 5-й строк определителя 4229 на , получим

2304230\* MERGEFORMAT (.)

Далее, умножая 1 и 3-ю строки определителя 4230 на выбранный коэффициент и вычитая полученные результаты соответственно из 2-й и 4-й строк, найдем

2314231\* MERGEFORMAT (.)

Затем, умножая 2-ю строку на коэффициент , вычитаем из полученных значений 3-ю строку. После умножения 2-й и 4-й строк на ₄ = 3, а 3-й на имеем

2324232\* MERGEFORMAT (.)

Следующими множителями будут и Применяя аналогичные процедуры к 3-й и 4-й, а также к 5-й строкам, найдем

2334233\* MERGEFORMAT (.)

И, наконец, взяв множитель и проделав аналогичные процедуры с 4-й и 5-й строками, получим окончательное выражение для треугольного определителя в виде

2344234\* MERGEFORMAT (.)

В определителе 4234 диагональные элементы положительны; следовательно, условия критерия Гурвица выполняются и система автоматического регулирования устойчива.

4.10.1. Исследовать устойчивость системы автоматического регулирования по её характеристическому уравнению

с помощью критерия Гурвица /5/.

4.10.2. Исследовать устойчивость системы автоматического регулирования по характеристическому уравнению

с помощью критерия Гурвица /5/.

4.10.3. Исследовать устойчивость системы автоматического регулирования по характеристическому уравнению

с помощью критерия Гурвица. /5/

4.10.4. Исследовать устойчивость системы автоматического регулирования по характеристическому уравнению

с помощью критерия Гурвица /5/.

Пример 2. Исследовать на устойчивость с помощью критерия Рауса систему автоматического регулирования, характеристическое уравнение которой имеет вид

,

где а₀ = 1; а₁ = 6; а₂ = 21; а₃ = 44; а₄ = 62; а₅ = 52; а₆ = 24.

Решение. При составлении таблицы Рауса в ее первую строку заносятся коэффициенты характеристического уравнения с четными номерами, а во вторую – с нечетными. Для остальных строк коэффициенты определяются в соответствии с зависимостью

где i - номер строки, k - номер столбца.

В соответствии с вышеизложенным, составим таблицу коэффициентов Рауса:

Номер строки	Номер столбца
	1	2	3	4
1	1	a2	a4	a6
2	a1	a3	a5	0
3			a6	0
4			0	0
5		a6	0	0
6		0	0	0
7	a6	0	0	0

Подставив в таблицу Рауса соответствующие числовые значения, получим

Номер строки	Номер столбца				Номер строки		Номер столбца
	1	2	3	4			1	2	3	4
1	1	21	62	24		5		25,5	24	0	0
2	6	44	52	0		6		22,1	0	0	0
3	13,7	53,3	24	0		7		24	0	0	0
4	20,6	41,5	0	0

Поскольку все элементы первого столбца таблицы Рауса положительны – система автоматического регулирования устойчива.

4.10.5. Исследовать на устойчивость системы автоматического регулирования по критерию Рауса, если их характеристические уравнения имеют следующий вид /5/:

a) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .