2.10. Каноническое уравнение прямой
Постановка задачи. Написать каноническое уравнение прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей (плоскости заданы общими уравнениями)
План решения.
1. Проверяем, что
векторы
и
неколлинеарны и, следовательно, плоскости
пересекаются по некоторой прямой.
Каноническое
уравнение прямой с направляющим вектором
,
проходящей через данную точку
,
имеет вид
.
(1)
Поэтому, чтобы написать уравнения прямой, необходимо найти её направляющий вектор и какую-нибудь точку на прямой.
2. Так как прямая
принадлежит одновременно обеим
плоскостям, то её направляющий вектор
ортогонален нормальным векторам обеих
плоскостей, т.е.
и
.
Следовательно,
направляющий вектор
находим по формуле
.
3. Теперь выберем какую-нибудь точку на прямой. Поскольку направляющий вектор прямой непараллелен хотя бы одной из координатных плоскостей, то прямая пересекает эту координатную плоскость. Следовательно, в качестве точки на прямой может быть взята точка её пересечения с этой координатной плоскостью.
4. Подставляем найденные направляющий вектор и точку в уравнение прямой (1) и записываем ответ.
Пример. Написать каноническое уравнение прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей
Решение.
1. Проверим, что
векторы
и
неколлинеарны (см. задачу 1.2). Имеем
.
Векторы и неколлинеарны, так как их координаты непропорциональны. Следовательно, две плоскости пересекаются по прямой.
2. Так как прямая
принадлежит одновременно обеим
плоскостям, то её направляющий вектор
ортогонален нормальным векторам обеих
плоскостей, т.е.
и
.
Следовательно, направляющий вектор
находим по формуле
.
3. Теперь выберем
какую-нибудь точку на прямой. Поскольку
направляющий вектор прямой непараллелен
ни одной из координатный плоскостей,
то прямая пересекает все три координатные
плоскости. Следовательно, в качестве
точки на прямой может быть взята точка
её пересечения, например, с плоскостью
Координаты этой точки находим, решая
систему трёх уравнений
Получим
,
и
т.е.
.
4. Подставляя найденные направляющий вектор и точку в уравнения прямой (1), получим
.
Ответ. Канонические уравнения прямой имеют вид
.
Задания для самостоятельной работы
Условия задач. Написать канонические уравнения прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Ответы.
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
. 8.
.
9.
. 10.
.
Раздел III Транспортная задача
3.1 Стандартная транспортная задача Задача № 1
Заводы некоторой автомобильной фирмы расположены в городах А, В и С. Основные центры распределения продукции сосредоточены в городах В и Е. Объемы производства указанных трех заводов равняются 1000, 1300 и 1200 автомобилей ежеквартально. Величины квартального спроса в центрах распределения составляют 2300 и 1400 автомобилей соответственно. Стоимости перевозки автомобилей по железной дороге по каждому из возможных маршрутов приведены в табл. 1
Таблица 1 Стоимость перевозки автомобилей, руб./шт.
|
D |
Е |
А |
80 |
215 |
В |
100 |
108 |
С |
102 |
68 |
Постройте математическую модель, позволяющую определить количество автомобилей, перевозимых из каждого завода в каждый центр распределения, таким образом, чтобы общие транспортные расходы были минимальны.