1.12. Вычисление
Постановка задачи. Вычислить предел
,
где F(x) непрерывна на R, f(x) непрерывна в точке x=a, u(x)- бесконечно малая функция в точке x=a и v(x) – функция, ограниченная в некоторой окрестности точки x=a
План решения.
Так как F(x) непрерывна на R, по теореме о переходе к пределу под знаком непрерывной функции имеем
2. Поскольку u (x) - бесконечно малая функция в точке x=a и v(x) – функция, ограниченная в некоторой окрестности точки x = a, то u(x)v(x) – бесконечно малая функция в точке x=a, т.е
3Так как f(x) непрерывна в точке а, то
Используя основные свойства предела функции в точке, получаем
Пример. Вычислить предел
Решение.
Так как функция
непрерывна при всех x,
то, переходя к пределу под знаком
непрерывной функции, получаем
Так как x – бесконечно малая функция в точке x=0, а 2+sin(1/x) – функция, ограниченная в окрестности точки x=0, то x(2+sin(1/x)) –бесконечно малая функция в точке x=0, т.е.
Так как cos ч непрерывна в точке x =o, то
и, используя свойства предела функции в точке, получаем
Ответ.
Задания для самостоятельной работы
Условия задач. Вычислить пределы.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Ответы. 1.3. 2.2. 3.1. 4.2. 5.2. 6.0. 72 8. 2 ln2/ 9.0. 10. ln3.
Раздел II Векторы. Прямая на плоскости и в пространстве. Плоскость
Разложение вектора по базису
Постановка задачи.
Найти разложение вектора
по
векторам
,
и
.
План решения.
Искомое разложение вектора
имеет вид
.
Это векторное уравнение относительно
эквивалентно системе трех линейных
уравнений с тремя неизвестными
Решаем эту систему уравнений относительно и таким образом определяем коэффициенты разложения вектора по векторам
и
.
Записываем ответ в виде
.
Замечание. Если система уравнений не имеет решений (векторы и лежат в одной плоскости, а вектор ей не принадлежит), то вектор нельзя разложить по векторам и . Если система уравнений имеет бесчисленное множество решений (векторы , и вектор лежат в одной плоскости), то разложение вектора по векторам и неоднозначно.
Пример.
Найти разложение вектора
по векторам
,
,
.
Решение.
Искомое разложение вектора имеет вид
2. Это векторное уравнение относительно эквивалентно системе трех линейных уравнений с тремя неизвестными
3.Система имеет
единственное решение
Ответ.
Задания для самостоятельной работы
Условия задач. Написать разложение вектора по векторам и .
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Ответы.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Коллинеарность вектров
Постановка задачи.
Коллинеарны ли векторы
,
где
и
?
План решения.
Векторы коллениарны тогда и только
тогда, когда существует число
такое,
что
.
Иными словами, векторы коллинеарны
тогда и только тогда, когда их координаты
пропорциональны.
Находим координаты векторов
,
пользуясь тем, что при сложении векторов
их координаты складываются, а при
умножении на число координаты умножаются
на это число.Если координаты векторов и пропорциональны, т.е.
то векторы коллинеарны. Если равенства
не выполняются, то векторы неколлинеарны.
Пример.
Коллинеарны ли векторы
,где
?
Решение.
Находим координаты векторов , пользуясь тем, что при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении на число координаты умножаются на это число:
.
Так как
,
То координаты пропорциональны. Следовательно, векторы коллинеарны.
Ответ. Векторы коллинеарны.
Задания для самостоятельной работы
Условия задач. Коллинеарны ли векторы ?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Ответы. 1. Нет. 2. Нет. 3. Нет. 4. Нет. 5. Нет. 6. Нет. 7. Да. 8. Да. 9. Да. 10. Да.