Методические указания к практическим занятиям и самостоятельной работе студентов очного и заочного отделений по дисциплине «Математика»

Раздел I «Пределы»

Раздел II «Векторы»

«Прямая на плоскости и в пространстве»,

«Плоскость»

Раздел III «Транспортная задача»

К каждой теме приведены:

---постановка задачи и план решения, с необходимыми теоретическими сведениями;

---подробный разбор решения задачи по теме;

---задачи для самостоятельной работы в 10 вариантах с ответами.

Раздел I Пределы

1.1. Понятие предела последовательности

Постановка задачи. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что

План решения.

1. По определению число а называется пределом числовой последовательности {an}, если

Э то означает, что неравенство имеет решение n> N(e).т

2. Найдем, при каких n справедливо неравенство

т.е. решим это неравенство относительно n.

3. Если решение имеет вид , то а — предел числовой последовательности .

Замечание. Если решение неравенства нельзя ставить в виде , то число a не является пределом последовательности

Пример. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что

Решение.

1. По определению число 2 называется пределом числовой последовательности если

2. Найдем, при каких п справедливо неравенство

т.е. решим это неравенство относительно п.

3 . Неравенство имеет решение Следовательно, 2 — предел числовой последовательности

Ответ,

Задания на самостоятельную работу

УСЛОВИЯ ЗАДАЧ. Пользуясь определением предела последователь­ности, доказать, что

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Ответы. 1. 2. 3.

4. 5. 6. 7.

1.2. Вычисление

Постановка задачи. Вычислить предел

План решения. Здесь Рк(п) — многочлен степени к (бесконечно большая последовательность порядка пк) и Qm(n) — многочлен сте­пени т (бесконечно большая последовательность порядка пт).

Вынесем в числителе множитель пк, получим Рк(п) = пкр(п), где р(п) =ак + ak-i/n + …. + ао/пк.

Вынесем в знаменателе множитель пт, получим Qm(n) =nmq(n), где q(n) = bm + bm-i/n +... + bo/nm.

Имеем

4. Получаем:

если к > т, то

если к < т, то

если к = т, то по теореме о пределе частного

Пример . Вычислить предел

РЕШЕНИЕ. Здесь (2n + I)2 - (n + 1)2 = Зn2 + 2n — многочлен вто­рой степени (бесконечно большая последовательность порядка n2) и n2 +n + 1 — многочлен второй степени (бесконечно большая после­довательность передка n2).

1. Вынесем в числителе множитель n2получим

(2п + 1)2 -(п + 1)2 =п2

2. Вынесем в знаменателе множитель п2, получим

п2 + п + 1 = п2

3. Имеем

4. Сокращая n2 и используя теорему о пределе частного, получаем

Задания для самостоятельной работы

У словия задач. Вычислить пределы.

1 . 2.

3 . 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Ответы. 1. - . 2. 0. 3. 0. 4. - 1. 5.1/3. 6. - . 7. 9. 8. - 2/9. 9. -1. 10. 1.