2.3. Угол между векторами

Постановка задачи. Даны точки A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2) и C(x3,y3,z3).Найти косинус угла между векторами AB и AC.

План решения. Косинус угла между векторами AB и AC определяются формулой

.

1. Чтобы вычислить длины векторов и и скалярное произведение , находим координаты векторов:

= {x2 – x1,y2 – y1, z2 – z1}, ={x3 – x1, y3 – y1, z3 – z1}.

2. По формулам для длины вектора и скалярного произведения векторов имеем

=

=

=(x2 - x1) (x3 – x1) + (y2 – y1) (y3 – y1) + (z2 – z1)( z3 – z1 ).

3.Вычисляем cos по формуле (1) и записываем ответ.

Пример. Даны точки A(-2,4,-6,), B(0,2,-4) и C(-6,8,-10). Найти косинус угла между и .

Решение.

1.Находим координаты векторов ={2,-2,2} и ={-4,4,-4}.

2.По формулам для длины вектора и скалярного произведения векторов имеем.

= = =

=2 (-4)+(-2) 4+2 (-4)=-24.

3.Вычисляем соs

Ответ. Косинус угла между векторами и равен - 1.

Задания для самостоятельной работы

Условия задач. Найти косинус угла между векторами и .

1. A(2,-2,3), B(1,-1,2) C(4,-4,5).

2. A(0,-2,6), B(-12,-2,-3,) C(-9,-2,-6).

3. A(2,3,-1), B(4,5,-2) C(3,1,1).

4. A(-1,2,-2,) B(3,4,-5) C(1,1,0).

5. A(-2,-2,0) B(1,-2,4) C(5,-2,1).

6. A(3,3,-1,) B(3,2,0) C(4,4,-1).

7. A(-1,-7,-4) B(2,-1,-1) C(4,3,1).

8. A(2,-2,6) B(0,0,4) C(6,-6,10).

9. A(0,1,0) B(3,1,4) C(4,1,3).

10. A(3,2,0) B(1,4,-1) C(4,0,2).

Ответы.1.cos =-1.2. cos =24/25.3. cos =-4/9.4. cos =0.5. cos = /2.6. cos =1/2.7. cos =-1.9. cos 24/25.10. cos =-8/9.

2.4 Площадь параллелограмма

Постановка задачи. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах 1= + 2 и = 1 + 2 , если известно, что | | = p0,| | = q0 и угол между векторами и равен .

План решения. Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , равна модулю их векторного произведения:

S = |[ , ]|.

1.Вычисляем [ , ], используя свойства векторного произведения [ , ] = [ 1 + 2 , 1 + 2 ] = 1 1[ , ] + 1 2[ ] + 2 2[ ] + 2 2[ ] = ( 1 2 - 2 1) [ ].

2.Вычисляем модуль векторного произведения

|[ , ]| = | 1 2 - 2 1|| || |sin

(sin так как 0 ).

3.Находим площадь параллелограмма, используя формулу (1)

S = |[ , ]| = | 1 2 - 2 1|| || |sin

Пример.

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах = 3 + 2 и = 2 - , если известно, что | | = 4, | | =3 и угол между векторами и равен /4.

Решение.

1. Вычисляем [ , ], используя свойства векторного произведения [ , ] = [3 + 2 ,2 - ] = 6[ , ] – 3[ , ] + 4[ , ] – 2[ , ] = - 7[ , ].

2.Вычисляем модуль векторного произведения

|[ , ]| = 7[ , ]| = 7| || | sin

Ответ. Площадь параллелограмма равна 42 (ед. длины)2.

Задания для самостоятельной работы

Условия задач. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и ( - угол между векторами и ).

1. = +3 , = 2 - | | = 2 , | | = 1 , = /6.

2. = 2 + , = - 3 | | = 2, | | = 2, = /4.

3. = - 2 , = + 3 | | = 1 , | | = 1, = /2.

4. = 3 - 5 , = + 2 | | = 2 , | | = 2, =5 /6.

5. = - , = 2 + 2 | | = 1 ,

| | = 6,

= 3 /3.

6. = + 2 , = 3 -2 | | = 3 , | | = 2,

= /3.

7. = 2 - 2 , = + | | = 2,

| | = 3,

= /2.

8. = + , = - 4 | | = 7,

| | = 4,

= /4.

9. = 4 - 4 , = + 3 | | = 2, | | = 1,

= /6.

10. = + , = 2 - | | = 2, | | = 3, = /3.

Ответы. 1. S = 7. 2. S = 14 . 3. S = 10. 4. S = 11. 5.S = 15 . 6. S = 24 . 7. S = 24. 8. S = 70 . 9. S = 16. 10. S = 9 .