1..9. Вычисление
Постановка задачи. Вычислить предел
где f(x) и g(x) – бесконечно малые функции в точке x=a.
План решения.
Нужно заменить f(x) и g(x) на эквивалентные им бесконечно малые функции. Но таблица эквивалентных бесконечно малых функций составлена для точки x=0. Поэтому сначала сделаем замену переменной x-a=t и будем искать предел при
Преобразуем выражение под знаком предела, пользуясь алгебраическими и тригонометрическими формулами, и заменяем в произведении и частном бесконечно малые функции эквивалентными.
Пример. Вычислить предел
Решение.
Поскольку
то выражение под
знаком предела является отношением
двух бесконечно малых функции при
.
Нужно заменить эти бесконечно малые
функции эквивалентными. Для это сначала
сделаем замену переменной
2 Используя тригонометрические формулы и заменяя в произведении и частном бесконечно малые функции эквивалентными, получим
О
твет.
Задания для самостоятельной работы
Условия задач. Вычислить пределы.
1.
|
2.
|
3.
|
4.
|
5.
|
6.
|
7.
|
8.
|
9.
|
10.
|
Ответы.
1. 3. 2. 5/18. 3. 1/2. 4. 3/8. 5. 3/2. 6. 3/5. 7. 3/
.
8. -1/(4
).
9. -5/3. 10. (4 ln
2) /
.
1.10 Вычисление
Постановка задачи. Вычислить предел
где
План решения.
Преобразуем выражение под знаком предела:
Поскольку показательная функция ex непрерывна, то можно перейти к пределу по знаком этой функции. Имеем
Вычисляем предел показателя
заменяя бесконечно малые функции эквивалентными.
Записываем окончательный ответ.
Пример. Вычислить предел
Решение. При
выражение
под знаком предела представляет степень,
основание которой стремится к единице:
а показатель – к бесконечности:
Преобразуем выражение по знаком предела:
Поскольку показательная функция ex непрерывна, то можно перейти к пределу под знаком этой функции. Имеем
Вычисляем предел показателя
Преобразуя выражение под знаком предела к виду
и заменяя бесконечно малые функции эквивалентными, имеем
Окончательно получаем
Ответ.
Задания для самостоятельной работы
Условия задач. Вычислить пределы.
1.
|
2.
|
3.
|
4.
|
5.
|
6.
|
7.
|
8.
|
9.
|
10.
|
Ответы. 1. 3/2. 2. 3/4. 3. e-5/2. 4. e1/2. 5. 1/5. 6. e-1/2. 7. e-1/2 8. e-2/ 9. e-3/2.
10. e-1/4..
1.11. Вычисление
Постановка задачи. Вычислить предел
,
где
План решения.
Чтобы использовать таблицу эквивалентных бесконечно малых, сделаем замену переменной t=x-a (тогда
при
и преобразуем выражение под знаком
предела:
Поскольку показательная функция ex непрерывна, то можно перейти к пределу под знаком этой функции. Имеем
Вычисляем предел показателя
заменяя бесконечно малые функции эквивалентными.
Записываем окончательный ответ.
Пример. Вычислить предел функции
Решение. При
выражение под знаком предела представляет
собой степень, основание которой
стремится единице:
а показатель – к бесконечности:
Чтобы использовать таблицу эквивалентных бесконечно малых, сделаем замену переменной t=x-1 (тогда
и преобразуем выражение под знаком
предела :
Поскольку показательная функция ex непрерывна, то можно перейти к пределу под знаком этой функции. Имеем
Вычислим предел показателя, заменяя бесконечно малые функции эквивалентными:
Окончательно получаем
Ответ.
Задания для самостоятельной работы
Условия задач. Вычислить пределы.
1.
|
2.
|
3.
|
4.
|
5.
|
6.
|
7.
|
8.
|
9.
|
10.
|
Ответы.
