1.3. Вычисление

Постановка задачи. Вычислить предел

где f(n) — бесконечно большая последовательность порядка па и g(п) — бесконечно большая последовательность порядка п

1. В ынесем в знаменателе множитель , получим

2. Вынесем в знаменателе множитель n2, получим

3. Имеем

4. Сокращая n2 и используя теоремы о пределах, окончательно получаем

З амечание. В данном случае было использовано свойство корня, в силу которого

и

Ответ,

Задания для самостоятельной работы

Условия задач. Вычислить пределы.

1 . 2.

3. 4.

5. 6.

7 . 8.

9. 10.

Ответы. 1. . 2.0. 3. + . 4.3. 5.0. 6. -3. 7. -1. 8. + . 9.5. 10. -2.

1.4. Вычисление

Постановка задачи. Вычислить предел последовательности

где

План решения.

1. Преобразуем выражение под знаком предела так, чтобы исполь­зовать второй замечательный предел, т.е. выделим единицу:

где a(n) = u(n) — 1 — бесконечно малая последовательность при .

Так как а(п) 0 при n , то

2. Если

Следовательно, если существует предел

то окончательно имеем

Пример. Вычислить предел

Решение.

1. При выражение под знаком предела представляет собой степень, основание которой стремится к единице:

а показатель — к минус бесконечности:

Преобразуем выражение под знаком предела так, чтобы использовать второй замечательный предел:

Так как

при

2. Так как

то окончательно имеем

Ответ

Задания для самостоятельной работы

Условия задач. Вычислить пределы.

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7. 9.	8. 10.

Ответы. 1. е3. 2. 3. е. 4. е. 5. е-2. 6. е2. 7. 1. 8. е6. 9. е-5. 10. + .

1.5. Понятие предела функции

Постановка задачи. Пользуясь определением предела функции в точке, доказать, что

План решения.

1. Число А называется пределом функции f(х) в точке х — а, если

Это значит, что неравенство имеет решение

2. Для того чтобы найти S(e), сначала найдем множество М такое, что

, т.е.

решим неравенство.

Затем найдем <5(е) такое, что

Тогда будем иметь

Это означает, что

Записываем ответ в виде:

Пример. Доказать, что

Решение.

1. Число 8 называется пределом функции

в точке , если

2. Для того чтобы найти , сначала найдем множество М такое что

т.е. решим неравенство

Затем найдем такое, что

Тогда будем иметь

3. Решаем неравенство:

(так как в определении предела функции в точке , т.е. , то можно сократить дробь на множитель . Таким образом,

Следовательно, если

то

т.е.

Ответ.

Задания для самостоятельной работы

Условия задач. Пользуясь определением пределе функции в точке, доказать равенства.

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.

Ответы.