- •Рабочая учебная программа
- •Математика
- •Содержание
- •Аннотация
- •Цель и задачи дисциплины
- •Программа дисциплины
- •Основные требования к знаниям и умениям студентов
- •Объем дисциплины и виды учебной работы Для студентов дневного отделения
- •Для студентов заочного отделения (полная форма обучения)
- •Для студентов заочного отделения (сокращенная форма обучения)
- •Для студентов заочного отделения (сокращенная форма обучения, II высшее)
- •Примерный тематический план Для студентов очного отделения
- •Для студентов заочного отделения (полная форма обучения)
- •Для студентов заочного отделения (сокращенная форма обучения)
- •Для студентов заочного отделения (сокращенная форма обучения, II высшее)
- •Технологическая карта
- •Технологическая карта
- •Примерные темы лекционных занятий
- •I семестр
- •II семестр
- •III семестр
- •IV семестр
- •Примерные темы практических занятий
- •I семестр
- •II семестр
- •III семестр
- •IV семестр
- •Задания по самостоятельной работе студентов очного отделения
- •I, II семестры
- •Литература
- •III, IV семестры
- •Литература
- •Методические рекомендации для преподавателей дисциплины «Математика»
- •Методические указания к выполнению контрольных работ для студентов заочного отделения (полная форма обучения, сокращенная форма обучения, II высшее) Требования к выполнению контрольных работ
- •Примерный перечень вопросов к экзаменам Для студентов очного обучения Вопросы к экзамену
- •I семестр
- •Вопросы к экзамену
- •II семестр
- •Вопросы к зачету
- •III семестр
- •Вопросы к экзамену
- •IV семестр
- •Для студентов заочного обучения
- •Вопросы к зачету
- •I семестр
- •Вопросы к экзамену
- •II семестр
- •Вопросы к зачету
- •III семестр
- •Вопросы к экзамену
- •IV семестр
- •Методические указания к практическим занятиям и самостоятельной работе студентов очного и заочного отделений по дисциплине «Математика»
- •1.1. Понятие предела последовательности
- •1.2. Вычисление
- •1.3. Вычисление
- •1.4. Вычисление
- •1.5. Понятие предела функции
- •1.6. Понятие непрерывности функции в точке
- •1.7. Вычисление
- •1.8. Вычисление
- •1..9. Вычисление
- •1.10 Вычисление
- •1.11. Вычисление
- •1.12. Вычисление
- •Раздел II Векторы. Прямая на плоскости и в пространстве. Плоскость
- •Разложение вектора по базису
- •Коллинеарность вектров
- •2.3. Угол между векторами
- •2.4 Площадь параллелограмма
- •2.5. Компланарность векторов
- •1.6. Объём и высота тетраэдра
- •2.7. Расстояние от точки до плоскости
- •2.8. Уравнение плоскости с данным нормальным вектором
- •2.9. Угол между плоскостями
- •2.10. Каноническое уравнение прямой
- •Раздел III Транспортная задача
- •3.1 Стандартная транспортная задача Задача № 1
- •Решение
- •3.2 Модификации стандартной транспортной задачи Недопустимые перевозки
- •Максимизация цф
- •Многопродуктовые модели
- •Задача № 2
- •Решение
- •4 45 Ед.Товара 445 ед.Товара
- •Задача №7
- •Задача № 12
- •Задача № 13
- •По дисциплине «математика»
- •Вариант № 1
- •Вариант № 2
- •Вариант № 3.
- •Вариант № 4
- •Вариант № 5
- •1 A) ; б) ; в) ; г) . . Какие из приведенных решений являются опорными для следующей системы уравнений:
- •5. Методом минимального элемента найти опорный план транспортной задачи, заданной следующей таблицей и вычислить соответствующие транспортные издержки.
- •Тесты по экономико-математическому моделированию
- •Модифицированный вариант прямого симплекс-метода
- •Выберите правильные утверждения относительно алгоритма прямого симплекс-метода:
- •Выберите верные утверждения
- •Задача, частично решенная графическим способом, скорее всего:
- •Литература
2.7. Расстояние от точки до плоскости
Постановка задачи. Найти расстояние от точки до плоскости, проходящей через точки , и .
План решения. Искомое расстояние можно найти как высоту тетраэдра с вершинами , , и , опущенную из вершины на грань (см. задачу 1.6). Другое решение заключается в следующем.
Расстояние от точки до плоскости равно длине проекции вектора на нормальный вектор плоскости , т. е.
(1)
Поскольку нормальный вектор плоскости ортогонален векторам и , его можно найти, как их векторное произведение:
1. Находим координаты векторов:
, , ,
и нормального вектора плоскости:
.
2. Вычисляем расстояние от точки до плоскости по формуле (1).
Пример. Найти расстояние от точки до плоскости, проходящей через точки , , .
Решение.
1. Находим координаты векторов:
, , ,
и нормального вектора плоскости:
.
2. Вычисляем расстояние от точки до плоскости по формуле (1):
.
Ответ. ед. длины.
Задания для самостоятельной работы
Условия задач. Найти расстояние от точки до плоскости, проходящей через точки , и .
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Ответы. 1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. . 9. . 10. .
2.8. Уравнение плоскости с данным нормальным вектором
Постановка задачи. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , где точки и имеют координаты и .
План решения. Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , имеет вид
(1)
1. В качестве нормального вектора плоскости выбираем вектор .
Составляем уравнение плоскости (1) с нормальным вектором , проходящим через точку :
.
Пример. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , где точки и имеют координаты и .
Решение.
1. В качестве нормального вектора плоскости выбираем вектор .
2. Составляем уравнение плоскости (1) с нормальным вектором , проходящей через точку :
.
Ответ. Уравнение плоскости .
Задания для самостоятельной работы
Условия задач. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Ответы. 1. . 2. .
2. . 4. .
5. . 6. .
7. . 8. .
9. . 10. .
2.9. Угол между плоскостями
Постановка задачи. Найти угол между плоскостями
, .
План решения. Двугранный угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами
, .
Поэтому угол между плоскостями определяется равенством
.
Пример. Найти угол между плоскостями
, .
Решение. Двугранный угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами и . Поэтому угол между плоскостями определяется равенством
.
Таким образом, .
Задания для самостоятельной работы
Условия задач. Найти угол между плоскостями.
1. , .
2. , .
3. , .
4. , .
5. , .
6. , .
7. , .
8. , .
9. , .
10. , .
Ответы. 1. . 2. .
3. . 4. . 5. . 6. .
7. . 8. . 9. . 10. .