Тяготение. Элементы теории поля
Пример 1. Какую скорость υ нужно сообщить ракете, чтобы она не вернулась на Землю? Сопротивление атмосферы не учитывать.
Решение. С удалением ракеты от Земли будет увеличиваться её потенциальная энергия и уменьшаться кинетическая.
По закону сохранения энергии
,
(1)
где m
– масса ракеты, М – масса Земли, γ
– гравитационная постоянная; υ0
– скорость ракеты в рассматриваемый
момент;
потенциал поля тяготения Земли на
расстоянии R от центра
Земли. Сокращая обе части равенства (1)
и делая необходимые преобразования,
получаем
.
(2)
Ракета не вернётся на Землю, если её скорость будет равна нулю в бесконечности, т.е. υ = 0 при R = ∞. В этом случае
.
(3)
Из закона всемирного тяготения следует, что на поверхности Земли
,
(4)
откуда
,
(5)
где g – ускорение свободного падения на поверхности Земли. Подставляя значение (5) в (3), найдём, что
(6)
или
.
(7)
Считая, что ракета набирает нужную скорость уже вблизи поверхности Земли, и полагая радиус Земли равным 6370 км, найдём
Скорость, необходимая для преодоления поля тяготения Земли, называется второй космической скоростью или параболической скоростью.
Ответ: υ0 = 11,2 км/с.
Механика жидкостей и газов
Пример 1. Вертикальная трубка впаяна в узкую часть горизонтальной трубы диаметром d1 = 3 см. В широкой части трубы диаметром d2 = 9 см скорость газа υ1 = 25 см/с. На какую высоту h поднимется вода в вертикальной трубке?
Решение. Согласно уравнению неразрывности
,
(1)
где S1 и S2 – площади поперечного сечения горизонтальной и вертикальной труб соответсвенно; υ1 и υ2 – скорости течения жидкости в горизонтальной и вертикальной трубах соответсвенно.
Учитывая (1) и зная, что
и
, (2)
получим соотношение между скоростями
. (3)
Уравнение Бернулли трубки тока, расположенной горизонтально:
(4)
где P1
и P2 –
статические давления жидкости для
сечений горизонтальной и вертикальной
труб соответсвенно;
и
–
динамические давления жидкости для
этих сечений.
Из (4) найдем разность давлений P1 и P2 :
.
(5)
Эта разность равна гидростатическому давлению:
.
(6)
Из (5) и (6) следует, что
.
(7)
Подставим в (7) числовые данные:
Ответ: h = 25,5 см.
Релятивистская механика
Пример 1. Найдите кинетическую энергию электрона EК, который движется с такой скоростью, что его масса увеличивается в два раза.
Решение. Кинетическая энергия релятивистской частицы:
(1)
Здесь c – скорость света, m0 – масса покоя электрона, m – масса электрона в состоянии движения (релятивистская масса), которая определяется соотношением
.
(2)
По условию задачи
.
(3)
Подставив выражение (3) в (1), получаем:
(4)
Подставим в (4) числовые данные:
EK = 9,1·10-31·(3·108)2 = 81,9·1015Дж.
Учитывая соотношение
1 эВ = 1,6·10 -19Дж,
получаем, что кинетическая энергия электрона
EK = 0,51·106 эВ = 0,51 МэВ.
Ответ: EK = 0,51 МэВ.