Работа и энергия

1. При аварии в шахте под действием постоянной силы F вагонетка прошла путь s = 5 м и приобрела скорость υ = 2 м/с. Определите работу A силы, если масса m вагонетки равна 400 кг и коэффициент трения μ = 0,01.

2. При ликвидации последствий взрыва используют подъемный кран. Вычислите работу A, совершаемую при равноускоренном подъеме обломков массой m = 100 кг на высоту h = 4 м за время t = 2 с.

3. При вертикальном подъеме груза массой m = 2 кг на высоту h = 1 м постоянной силой F была совершена работа A = 78,5 Дж. С каким ускорением a поднимали груз?

4. Тело массой m = 5 кг поднимают с ускорением а = 2 м/с². Определите работу силы A в течение первых пяти секунд.

5. При погрузке гуманитарного груза в автомобиль используют наклонную плоскость. Определите работу A, совершаемую при подъеме груза массой m = 50 кг по наклонной плоскости с углом наклона   ⁰ к горизонту на расстояние S = 4 м, если время подъема t = 2 с, а коэффициент трения μ = 0,06.

6. Тело скользит с наклонной плоскости высотой h и углом наклона  к горизонту и движется далее по горизонтальному участку. Принимая коэффициент трения на всем пути постоянным и равным μ, определите расстояние S, пройденное телом на горизонтальном участке, до полной остановки.

7. Какую мощность P должен развивать трактор при перемещении аварийного автомобиля массой m = 5 т вверх по уклону со скоростью υ = 1 м/с, если угол наклона   2⁰, а коэффициент трения прицепа  = 0,2?

8. Определите мощность двигателя P шахтной клети, поднимающего из шахты глубиной h = 200 м груз массой m = 10 т за t = 60 с, КПД равен 80 %.

9. Поезд массой m = 10⁶ кг поднимается вверх по уклону с углом наклона   1⁰ со скоростью υ = 15 м/с и проходит путь S = 2 км. Определите работу A и среднюю мощность P, развиваемую тепловозом при движении поезда. Коэффициент трения μ = 0,05.

10. Плитовоз массой m = 1,8 т движется в гору, уклон которой составляет h = 3 м на каждые s = 100 м пути. Определите: 1) работу A, совершаемую двигателем автомашины на пути S = 5 км, если коэффициент трения μ = 0,1; 2) развиваемую двигателем мощность P, если известно, что этот путь был преодолен за t = 5 мин.

11. Насос мощностью P используют для откачки нефти из поврежденного танкера с глубины h. Определите массу m жидкости, поднятой за время t, если КПД насоса равен .

12. Поезд массой m = 600 т движется под гору с уклоном   ,⁰ и за время t = 1 мин развивает скорость υ = 18 км/ч. Коэффициент трения μ = 0,01. Определите среднюю мощность P локомотива.

13. Какую работу A надо совершить, чтобы заставить движущееся тело массой m = 2 кг: 1) увеличить свою скорость от υ₀ = 2 до υ = 5 м/с, 2) остановиться при начальной скорости υ₀ = 8 м/с?

14. При расследовании дорожно-транспортного происшествия необходимо определить скорость автомобиля υ₀ перед торможением. Тормозной путь составляет S = 25 м. Сила трения в тормозных колодках постоянна и равна F = 3840 Н. Масса автомобиля m = 1 т. Трением колес о дорогу пренебречь.

15. Под действием постоянной силы F = 400 Н, направленной вертикально вверх, груз массой m = 20 кг был поднят на высоту h = 15 м. Какой потенциальной энергией E_П будет обладать поднятый груз? Какую работу A совершит сила F?

16. Самолет поднимается и на высоте h = 5 км достигает скорости υ = 360 км/ч. Во сколько раз работа, совершаемая при подъеме против сил тяжести, больше работы, идущей на увеличение скорости самолета?

17. На автомобиль массой m = 1 т во время движения действует постоянная сила трения, равная 0,1 его силы тяжести. Какую массу бензина расходует двигатель автомобиля на то, чтобы на пути S = 0,5 км увеличить скорость движения автомобиля от υ₀ = 10 до υ = 40 км/ч? КПД двигателя η = 20 %.

18. Какую массу бензина m расходует двигатель автомобиля на пути S = 100 км, если при средней мощности двигателя P = 15 л.с. средняя скорость его движения была равна υ = 30 км/ч? КПД двигателя η = 22 %. Остальные необходимые данные взять из условия предыдущей задачи.

19. Материальная точка массой m = 2 кг двигалась под действием некоторой силы, направленной вдоль оси Ox, согласно уравнению , где B =  2 м/с, C = 1 м/с², D =  0,2 м/с³. Найдите мощности P₁ и P₂, развиваемую силой в моменты времени = 2 c и = 5 c.

20. Материальная точка массой m = 1 кг двигалась под действием некоторой силы согласно уравнению (B = 3 м/с, C = 5м/c², D = 1 м/c³). Определите мощность P, затрачиваемую на движение точки в момент времени t = 1 с.

21. Ветер действует на парус площадью S с силой , где A – некоторая постоянная; ρ – плотность воздуха; υ₀ – скорость ветра; υ – скорость лодки. Определите, при какой скорости лодки мгновенная мощность ветра максимальна.

22. Тело массой m поднимается без начальной скорости с поверхности Земли под действием силы F, меняющейся с высотой подъема по закону (где A – некоторая положительная постоянная), и силы тяжести mg. Определите: 1) весь путь подъема S; 2) работу силы F на первой трети пути подъема. Поле силы тяжести считать однородным.

1. Тело массой m начинает двигаться под действием силы , где и – соответственно единичные векторы координатных осей x и y. Определите зависимость мощности P(t), развиваемую силой в момент времени t.

2. С какой наименьшей высоты h_min должен начать скатываться акробат на велосипеде (не работая ногами), чтобы проехать по дорожке, имеющей форму «мертвой петли» радиусом R = 4 м, и не оторваться от дорожки в верхней точке петли? Трением пренебречь.

3. Шайба массой m скользит без трения с высоты h по желобу, переходящему в петлю радиусом R. Определите: 1) силу давления F шайбы на опору в точке, определяемой углом ; 2) угол , при котором произойдет отрыв шайбы.

4. Тело массой m = 0,4 кг скользит с наклонной плоскости высотой h = 10 см и длиной s = 1 м. Коэффициент трения тела на всем пути μ = 0,04. Определите кинетическую энергию тела у основания плоскости E_K и путь S, пройденный телом на горизонтальном участке до остановки.

5. Камень бросили под углом  = 6⁰ к горизонту со скоростью υ₀ = 15 м/с. Найдите кинетическую E_K, потенциальную E_П и полную E энергии камня: 1) спустя одну секунду после начала движения, 2) в высшей точке траектории. Масса камня m = 0,2 кг. Сопротивлением воздуха пренебречь.

6. Мотоциклист едет по горизонтальной дороге. Какую наименьшую скорость υ он должен развить, чтобы, выключив мотор, проехать по треку, имеющему форму «мертвой петли» радиусом R = 4 м? Трением и сопротивлением воздуха пренебречь.

7. Зависимость потенциальной энергии E_П тела в центральном силовом поле от расстояния r до центра поля задается функцией E_П(r) =(A / r²) – (B / r) (A = 6 мкДж·м², В = 0,3 мДж·м). Определите, при каких значениях r максимальное значение принимают: 1) потенциальная энергия тела; 2) сила, действующая на тело.

8. Н

   Рис. 25

   а рис. 25 представлена качественная зависимость потенциальной энергии П взаимодействия двух потенциальных частиц от расстояния r между ними. Объясните, каким расстояниям между частицами соответствует равновесие, при каком расстоянии оно является устойчивым и при каком – неустойчивым.

9. С

   r

   4

   ила, действующая на тело в некотором поле консервативных сил, описывается законом , где A – некоторая постоянная, и – соответственно единичные векторы координатных осей х и у. Определите потенциальную энергию E_П (х, у) тела в этом поле.

10. Два неупругих шара массами m₁ = 2 кг и m₂ = 3 кг движутся со скоростями соответственно υ₁ = 8 м/с и υ₂ = 4 м/с. Определите увеличение внутренней энергии шаров при их столкновении в двух случаях: 1) меньший шар нагоняет больший; 2) шары движутся навстречу друг другу.

11. Шар массой m₁, летящий со скоростью υ₁ = 5 м/с, ударяет неподвижный шар массой m₂. Удар прямой, неупругий. Определить скорость u шаров после удара, а также долю δ кинетической энергии летящего шара, израсходованной на увеличение внутренней энергии этих шаров. Рассмотреть два случая: 1) m₁ = 2 кг, m₂ = 8 кг; 2) m₁ = 8 кг; m₂ = 2 кг.

12. Металлический шарик падает вертикально на мраморный пол с высоты h₁ = 80 см и отскакивает от него на высоту h₂ = 72 см. Определите коэффициент восстановления шарика k.

1. Шарик из некоторого материала, падая вертикально с высоты h = 0,9 м, несколько раз отскакивает от пола. Определите коэффициент восстановления материала шарика k при ударе о пол, если с момента падения до второго удара прошло время t = 1 с.

2. Конькобежец массой m₁ = 70 кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении камень массой m₂ = 3 кг со скоростью υ₂ = 8 м/с. Найдите, на какое расстояние S откатится при этом конькобежец, если известно, что коэффициент трения коньков о лед μ = 0,02.

3. Тело массой m₁ = 2 кг движется навстречу второму телу массой m₂ = 1,5 кг и неупруго сталкивается с ним. Скорость тел непосредственно перед столкновением соответственно υ₁ = 1 м/с и υ₂ = 2 м/с. Сколько времени t будут двигаться эти тела после столкновения, если коэффициент трения μ = 0,05?

4. Тело массой m₁ = 5 кг ударяется о неподвижное тело массой m₂ = 2,5 кг, которое после удара начинает двигаться с кинетической энергией E₂ = 5 Дж. Считая удар центральным и упругим, найдите кинетическую энергию первого тела до E₀₁ и после E₁ удара.

5. Шар массой m₁ = 2 кг налетает на покоящийся шар массой m₂ = 8 кг. Импульс движущегося шара p₁ = 10 кг·м/c. Удар шаров прямой, упругий. Определите непосредственно после удара: 1) импульсы p₁ первого шара и p₂ второго шара; 2) изменение p₁ импульса первого шара; 3) кинетические энергии E_K1 первого шара и E_K2 второго шара; 4) изменение E_K1 кинетической энергии первого шара; 5) долю δ кинетической энергии, переданной первым шаром второму.

6. Шар массой m₁ = 200 г, движущийся со скоростью υ₁= 10 м/с, ударяет неподвижный шар массой m₂ = 800 г. Удар прямой, абсолютно упругий. Каковы будут скорости u₁ и u₂ шаров после удара?

7. При центральном упругом ударе движущееся тело массой m₁ ударяется в покоящееся тело массой m₂, в результате чего скорость первого тела уменьшается в 2 раза. Определите: 1) во сколько раз масса первого тела больше массы второго тела; 2) кинетическую энергию E_K2 второго тела непосредственно после удара, если первоначальная кинетическая энергия первого тела E_K1 = 800 Дж.

8. Тело массой m₁ = 2 кг движется со скоростью υ₁ = 3 м/с и догоняет второе тело массой m₂ = 3 кг, движущееся со скоростью υ₂ = 1 м/с. Найдите скорости тел u₁ и u₂ после столкновения, если 1) удар был неупругий; 2) удар был упругий. Тела движутся по одной прямой. Удар центральный.

9. Два шара массами m₁ = 9 кг и m₂ = 12 кг подвешены на нитях длиной l = 1,5 м. Первоначально шары соприкасаются между собой, затем меньший шар отклонили на угол   ⁰ и отпустили. Считая удар неупругим, определите высоту h, на которую поднимутся оба шара после удара.

10. Два шара массами m₁ = 3 кг и m₂ = 2 кг подвешены на нитях длиной l = 1 м. Первоначально шары соприкасаются между собой, затем больший шар отклонили от положения равновесия на угол   6⁰ и отпустили. Считая удар упругим, определите скорость υ₂ второго шара после удара.

11. Пуля массой m = 15 г, летящая с горизонтальной скоростью υ = 0,5 м/с, попадает в баллистический маятник массой M = 6 кг и застревает в нем. Определите высоту h, на которую поднимется маятник, откачнувшись после удара.

12. Пуля массой m = 15 г, летящая горизонтально, попадает в баллистический маятник длиной l = 1 м и массой M = 1,5 кг и застревает в нем. Маятник в результате этого отклонился на угол  = ⁰. Определите скорость υ пули.

13. Пуля массой m = 12 г, летящая горизонтально со скоростью υ = 200 м/с, попадает в баллистический маятник длиной l = 1 м и массой M = 1,5 кг и застревает в нем. Определите угол отклонения  маятника.

14. В баллистический маятник массой M = 5 кг попала пуля массой m = 10 г и застряла в нем. Найдите скорость υ пули, если маятник, отклонившись после удара, поднялся на высоту h = 10 см.

15. Молот массой m₁ = 5 кг ударяет небольшой кусок железа, лежащий на наковальне. Масса наковальни равна m₂ = 100 кг. Удар неупругий. Определите КПД  удара молота при данных условиях. Массой куска железа пренебречь.

16. Боек свайного молота массой m₁ = 500 кг падает с некоторой высоты на сваю массой m₂ = 100 кг. Найдите КПД  удара бойка, считая удар неупругим. Изменением потенциальной энергии сваи при ее углублении пренебречь.

17. Молоток, масса которого m₁ = 1 кг, забивает в стену гвоздь массой m₂ = 75 г. Определите КПД  удара молотка при данных условиях.

18. Груз массой m = 1 кг, висящий на нити, отклоняют на угол ⁰. Найдите натяжение нити T в момент прохождения грузом положения равновесия.

19. Какую работу А нужно совершить, чтобы растянуть на х = 1 мм стальной стержень длинной l = 1 м и площадью поперечного сечения S = 1 см²?

20. Определите относительное удлинение алюминиевого стержня, если при его растяжении затрачена работа A = 6,9 Дж. Длина стержня l = 1 м, площадь поперечного сечения S = 1 мм², модуль Юнга для алюминия Е = 69 ГПа.

21. Для сжатия пружины на х₁ = 1 см нужно приложить силу F = 10 H. Какую работу А нужно совершить, чтобы сжать пружину на х₂ = 10 см, если сила пропорциональна сжатию?

22. Гиря, положенная на верхний конец спиральной пружины, поставленной на подставке, сжимает ее на х = 2 мм. На сколько ∆x сожмет пружину та же гиря, упавшая на конец пружины с высоты h = 5см?

23. Гиря массой m = 10 кг падает с высоты h = 0,5 м на подставку, скрепленную с пружиной жесткостью k = 30 Н/см. Определите при этом смещение х пружины.

24. Две пружины с жесткостями k₁ = 0,3 кН/м и k₂ = 0,5 кН/м скреплены последовательно и растянуты так, что абсолютная деформация х₂ второй пружины равна 3 см. Вычислите работу А растяжения пружин.

25. Две пружины, жесткости которых k₁ = 1 кН/м и k₂ = 3 кН/м, скреплены параллельно. Определите потенциальную энергию E_П данной системы при абсолютной деформации х = 5 см.

26. Вагон массой m = 12 т двигался со скоростью υ = 1 м/с. Налетев на пружинный буфер, он остановился, сжав пружину буфера на х = 10 см. Найдите жесткость k пружины.

27. Камень массой m = 0,5 кг, привязанный к веревке длиной l = 50 см, равномерно вращается в вертикальной плоскости. Натяжение веревки в низшей точке окружности Т = 44 Н. На какую высоту h поднимется камень, если веревка обрывается в тот момент, когда скорость направлена вертикально вверх?

28. Пуля массой m₁ = 10 г вылетает со скоростью υ = 300 м/с из дула автоматического пистолета, масса затвора которого равна m₂ = 200 г. Затвор пистолета прижимается к стволу пружиной жесткостью k = 25 кН/м. На какое расстояние l отойдет затвор после выстрела? Считать пистолет жестко закрепленным.

29. С какой скоростью υ вылетит из пружинного пистолета шарик массой m = 10 г, если пружина была сжата на х = 5 см. Жесткость пружины k = 200 Н/м.

30. В пружинном ружье пружина сжата на х₁ = 20 см. При взводе ее сжали еще на х₂ = 30 см. С какой скоростью υ вылетит из ружья стрела массой m = 50 г, если жесткость пружины k = 120 Н/м?