Динамика материальной точки и поступательного движения абсолютно твёрдого тела

1. Тело массой m = 0,5 кг движется прямолинейно, причем зависимость пройденного телом пути S от времени t дается уравнением , где С = 5 м/с² и D = 1 м/с ³. Найдите силу F, действующую на тело в конце первой секунды движения.

2. Под действием постоянной силы F = 9,8 Н тело движется прямолинейно так, что зависимость пройденного телом пути S от времени t дается уравнением . Найдите массу тела m, если постоянная С = 1 м/с².

3. Тело массой m движется так, что зависимость пройденного пути от времени описывается уравнением , где А и  – постоянные. Запишите закон изменения силы от времени F(t).

4. К нити подвешен груз массой m = 500 г. Определите силу натяжения нити T, если нить с грузом: 1) поднимается с ускорением a = 2 м/c²; 2) опускается с ускорением a = 2 м/с².

5. При разборе завала используется подъемный кран. Трос крана выдерживает силу натяжения T = 4000 Н. С каким наибольшим ускорением a можно поднимать обломок стены массой m = 400 кг, чтобы трос при этом не разорвался?

6. Масса лифта с пассажирами равна m = 800 кг. Найдите, с каким ускорением a и в каком направлении движется лифт, если известно, что натяжение T троса, поддерживающего лифт, равно: 1) 11760 Н, 2) 5880 Н.

7. К нити подвешена гиря. Если поднимать эту гирю с ускорением а₁ = 2 м/с², то натяжение Т нити будет вдвое меньше того натяжения, при котором нить разрывается. С каким ускорением а₂ надо поднимать эту гирю, чтобы нить разорвалась?

8. Вагон массой m = 20 т движется с начальной скоростью υ = 54 км/ч. Определите среднюю силу F, действующую на вагон, если известно, что вагон останавливается в течение: 1) 1 мин 40 с, 2) 10 с, 3) 1с.

9. Автомобиль массой m = 1020 кг останавливается при торможении за t = 5 с, пройдя при этом равнозамедленно расстояние S = 25 м. Найдите начальную скорость автомобиля υ₀ и силу торможения F.

10. Д

    Рис. 17

    ва груза (m₁ = 500 г и m₂ = 700 г) связаны невесомой нитью и лежат на гладкой горизонтальной поверхности (рис. 17). К грузу m₁ приложена горизонтально направленная сила F = 6 H. Пренебрегая трением, определите: 1) ускорение грузов a; 2) силу натяжения нити T.

11. На столе стоит тележка массой m₁ = 4 кг. К тележке привязан один конец шнура, перекинутого через блок. С каким ускорением а будет двигаться тележка, если к другому концу шнура привязать гирю массой m₂ = 1 кг?

12. Простейшая машина Атвуда, применяемая для изучения законов равноускоренного движения, представляет собой два груза с неравными массами m₁ и m₂ (например, m₁ > m₂), которые подвешены на легкой нити, перекинутой через неподвижный блок (рис. 18). Считая нить и блок невесомыми и пренебрегая трением в оси блока, определите: 1) ускорение грузов a; 2) силу натяжения нити Т; 3) силу F, действующую на ось блока.

Рис. 18 Рис. 19 Рис. 20

6. К пружинным весам подвешен блок. Через блок перекинут шнур, к концам которого привязали грузы массами m₁ = 1,5 кг и m₂ = 3 кг. Каково будет показание весов во время движения грузов? Массой блока и шнура пренебречь.

7. На рисунке (рис.19) изображена система блоков, к которым подвешены грузы массами m₁ = 200 г и m₂ = 500 г. Считая, что груз m₁ поднимается, а подвижный блок массой m₂ опускается, нить и блоки невесомы, силы трения отсутствуют, определите: 1) силу натяжения нити Т; 2) ускорения a₁ и a₂, с которыми движутся грузы.

8. Груз массой m = 10 кг поднимается вверх с помощью системы подвижного и неподвижного блоков (рис. 20). Определите ускорение груза a, если к концу нити, перекинутой через неподвижный блок, приложена сила F = 60 Н. Массой нити и блоков можно пренебречь.

9. В погрузчике (рис. 21) угол наклонной плоскости с горизонтом равен 20⁰, массы тел m₁ = 200 г и m₂ = 150 г. Считая нить и блок невесомыми и пренебрегая силами трения, определите ускорение a, с которым будут двигаться эти тела, если тело m₂ опускается.

_{Рис. 21 Рис. 22}

17. Тело А массой М = 2 кг (рис. 22) находится на горизонтальном столе и соединено нитями посредством блоков с телами В (m₁ = 0,5 кг) и С (m₂ = 0,3 кг). Считая нити и блоки невесомыми и пренебрегая силами трения, определите: 1) ускорение a, с которым движутся тела; 2) разность сил натяжения нитей T₁ – T₂.

18. В установке углы  и  с горизонтом соответственно равны 30⁰ и 45⁰, массы тел m₁ = 0,45 кг и m₂ = 0,5 кг. Считая нить и блок невесомыми и пренебрегая силами трения, определите: 1) ускорение a, с которым движутся тела; 2) разность сил натяжения нитей T₁ – T₂.

17. Тело массой m движется в плоскости xy по закону x = Acost, y = Bsint, где А, В и  – некоторые постоянные. Определите модуль силы F, действующей на это тело.

18. Частица массой m движется под действием сил F = F₀ cost, где F₀ и  – некоторые постоянные. Определите положение частицы, т.е. выразите ее радиус-вектор как функцию времени r(t), если в начальный момент времени t = 0, r(0) = 0 и υ(0) = 0.

19. На рельсах стоит платформа массой m₁ = 10 т. На платформе закреплено орудие массой m₂ = 5 т, из которого производится выстрел вдоль рельсов. Масса снаряда m₃ = 100 кг; его начальная скорость относительно орудия υ₀ = 500 м/с. Определите скорость υ_х платформы в первый момент после выстрела, если: 1) платформа стояла неподвижно; 2) платформа двигалась со скоростью υ₁ = 18 км/ч и выстрел был произведен в направлении ее движения; 3) платформа двигалась со скоростью υ₁ = 18 км/ч и выстрел был произведен в направлении противоположном ее движению.

20. Человек массой m₁ = 60 кг, бегущий со скоростью υ₁ = 8 км/ч, догоняет тележку массой m₂ = 80 кг, движущуюся со скоростью υ₂ = 2,9 км/ч, и вскакивает на нее. С какой скоростью u станет двигаться тележка? С какой скоростью будет двигаться тележка, если человек бежал ей навстречу?

21. Нейтрон (масса m₀) ударяется о неподвижное ядро атома углерода (m = 12m₀). Считая удар центральным и упругим, найдите, во сколько раз уменьшится кинетическая энергия нейтрона при ударе.

22. Молекула массой m = 4,6510^26 кг, летящая нормально к стенке сосуда со скоростью υ = 600 м/с, ударяется о стенку и упруго отталкивается от нее без потери скорости. Найдите импульс силы F∆t, полученный стенкой за время удара.

23. Молекула массой m = 4,6510^26 кг, летящая со скоростью υ = 600 м/с, ударяется о стенку сосуда под углом α = 60⁰ к нормали и под таким же углом упруго отталкивается от нее без потери скорости. Найдите импульс силы F∆t, полученный стенкой за время удара.

24. При землетрясении обломок здания массой m = 1 т падает с высоты h = 2 м на мостовую. Длительность удара t = 0,01 с. Определите среднее значение силы <F> удара.

25. При тушении пожара струя воды из брандспойта сечением S = 6 см² ударяется о стенку под углом α = 60⁰ и упруго отталкивается от нее без потери скорости. Найдите силу F, действующую на стенку, если известно, что скорость воды в струе υ = 12 м/с.

26. Какова средняя сила давления F на плечо при стрельбе из автомата, если масса пули m = 10 г, а скорость пули при вылете ее из ствола υ = 300 м/с? Число выстрелов из автомата в единицу времени n = 300 мин^1.

27. Мяч массы m = 150 г ударяется о гладкую стенку под углом α = 30⁰ к ней и отскакивает без потери скорости. Найдите среднюю силу F, действующую на мяч со стороны стенки, если скорость мяча υ = 10 м/с, а продолжительность удара t = 0,1 с.

28. Платформа с песком общей массой M = 2 т стоит на рельсах на горизонтальном участке пути. В песок попадает снаряд массой m = 8 кг и застревает в нем. Пренебрегая трением, определите, с какой скоростью u будет двигаться платформа, если в момент попадания скорость снаряда υ = 450 м/с, а ее направление – сверху вниз под углом α = 30⁰ к горизонту.

29. На железнодорожной платформе, движущейся по инерции со скоростью υ₀ = 3 км/ч, укреплено орудие. Масса платформы с орудием M = 10 т. Ствол орудия направлен в сторону движения платформы. Снаряд массой m = 10 кг вылетает из ствола под углом  = 60⁰ к горизонту. Определите скорость снаряда υ (относительно земли), если после выстрела скорость платформы уменьшилась в n = 2 раза.

30. Лодка массой М = 150 кг и длиной l = 2,8 м стоит неподвижно в стоячей воде. Рыбак массой m = 90 кг в лодке переходит с носа на корму. Пренебрегая сопротивлением воды, определите, на какое расстояние S при этом сдвинется лодка.

31. Тело массой m₁ = 2 кг движется со скоростью υ₁ = 3 м/с и догоняет второе тело массой m₂ = 3 кг, движущееся со скоростью υ₂ = 1 м/с. Каково должно быть соотношение между массами тел, чтобы при упругом ударе первое тело после удара остановилось?

32. Платформа нагружена песком, который высыпается через отверстие в дне с постоянной скоростью Q = 10 кг/с. Найдите скорость платформы u через время t = 2 мин от начала движения, если при t = 0 υ₀ = 0, масса платформы M = 2010³ кг и на нее начала действовать постоянная сила тяги F = 1000 Н. Трение не учитывать.

33. На пожарном катере массой m = 4,5 т находится водомет, выбрасывающий со скоростью υ = 6 м/с относительно катера назад Q = 25 кг/с воды. Пренебрегая сопротивлением движению катера, определите: 1) скорость катера через t = 3 мин после начала движения; 2) предельно возможную скорость катера.

34. Ракета, масса которой в начальный момент времени М = 2 кг, запущена вертикально вверх. Относительная скорость выхода продуктов сгорания u = 150 м/с, расход горючего Q = 0,2 кг/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите ускорение а ракеты через t = 3 с после начала ее движения. Поле силы тяжести считать однородным.

35. Ракета, масса которой в начальный момент времени М = 300 г, начинает выбрасывать продукты сгорания с относительной скоростью u = 200 м/с. Расход горючего Q = 100 г/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха и внешним силовым полем, определите: 1) за какой промежуток времени t скорость ракеты станет равной υ₁ = 50 м/с; 2) скорость υ₂, которую достигнет ракета, если масса заряда m₀ = 0,2 кг.

36. Ракета с жидким топливом массой М = 1510³ кг запускается в вертикальном направлении. Расход топлива Q = 150 кг/с. На какую высоту H поднимется ракета за время работы двигателя t = 1 мин, если скорость истечения газов из сопла u = 3 км/с?

37. Какую массу газов ежесекундно должна выбрасывать ракета с начальной массой М, направленная вертикально вверх, чтобы через некоторое время от начала движения она могла оставаться неподвижной в поле тяжести? Скорость газовой струи относительно ракеты u. Изменение ускорения силы тяжести с высотой не учитывать.

38. Ракета массой m = 1 т, запущенная с поверхности Земли вертикально вверх, поднимается с ускорением а = 2g. Скорость υ струи газов, вырывающихся из сопла, равна 1200 м/с. Найдите расход Q горючего.

39. Космический корабль имеет массу m = 3,5 т. При маневрировании из его двигателей вырывается струя газов υ = 800 м/с; расход горючего Q = 0,2 кг/с. Найдите реактивную силу F_p двигателей и ускорение а, которое она сообщает кораблю.

40. Ракета с начальной массой m₀ начинает движение из состояния покоя. К некоторому моменту времени t, израсходовав топливо массой m, развивается скорость υ. Пренебрегая сопротивлением воздуха и внешним силовым полем, определите зависимость υ от m, если скорость истечения топлива относительно ракеты равна u.

41. Ракета поднимается с нулевой начальной скоростью вертикально вверх. Начальная масса ракеты m₀, скорость истечения газов относительно ракеты постоянна и равна u. Пренебрегая сопротивлением воздуха, выразите скорость ракеты υ в зависимости от m и t (m – масса ракеты; t – время ее подъема). Поле силы тяжести считать однородным.

42. Ракета с начальной массой m₀ = 1,5 кг начинает движение из состояния покоя вертикально вверх, выбрасывая непрерывную струю газов с постоянной относительно нее скоростью u = 800 м/с. Расход газов Q = 0,3 кг/с. Определите, какую скорость υ приобретает ракета через время t = 1 с после начала движения, если она движется: 1) при отсутствии внешних сил; 2) в однородном поле силы тяжести. Оцените относительную погрешность, сделанную для данных условий задачи при пренебрежении внешним силовым полем.

43. Спасательный вертолет массой m = 3,5 т с ротором, диаметр d которого равен 18 м, «висит» в воздухе. С какой скоростью υ ротор отбрасывает вертикально вниз струю воздуха? Диаметр струи считать равным диаметру ротора. Возможно ли нахождение людей в этом месте?

44. Определите положение центра масс половины круглого диска радиусом R, считая его однородным.

47. Определите положение центра масс системы, состоящей из 4 шаров, массы которых равны соответственно m, 2m, 3m и 4m, в следующих случаях (рис. 23): а) шары расположены на одной прямой; б) шары расположены по вершинам квадрата; в) шары расположены по 4 смежным вершинам куба. Во всех случаях расстояние между соседними шарами равно a = 15 см. Направление координатных осей показано на рисунке.

48. Определите координаты центра масс системы, состоящей из 4 шаров массами 2m, 3m, 4m и m, которые расположены в вершинах и в центре равностороннего треугольника со стороной а = 20 см (рис. 24). Направление координатных осей указано на рисунке.

Рис. 23 Рис. 24

47. На двух параллельных пружинах одинаковой длины висит стержень, весом которого можно пренебречь. Коэффициенты деформации пружины равны соответственно k₁ = 19,6 Н/см и k₂ = 29,4 Н/см. Длина стержня равна расстоянию между пружинами L = 10 см. В каком месте стержня надо подвесить груз, чтобы стержень оставался горизонтальным?

48. Гирька, привязанная к резиновому шнуру длиной l₀, описывает в горизонтальной плоскости окружность. Сила тяжести гирьки mg = 4,9 Н. Скорость вращения гирьки соответствует частоте ν = 2 об/с. Угол отклонения шнура от вертикали  = 30⁰. Найдите длину l₀ нерастянутого резинового шнура. Для растяжения шнура на х₁ = 1 см требуется сила F₁ = 6 Н.

49. Стальной шарик, упавший с высоты h₁ = 1,5 м на стальную доску, отскакивает от нее со скоростью υ₂ = 0,75υ₁, где υ₁ – скорость, с которой он подлетел к доске. На какую высоту h₂ поднимается шарик? Сколько времени пройдёт от начала движения шарика до вторичного его падения на доску?

50. Металлический шарик, падая с высоты h₁ = 1 м на стальную плиту, отскакивает от неё на высоту h₂ = 81 см. Найдите коэффициент восстановления шарика k.

51. К проволоке диаметром d = 2 мм подвешен груз массой m = 1 кг. Определите напряжение , возникшее в проволоке.

52. Какой наибольший груз может выдержать стальная проволока диаметром d = 1 мм, не выходя за предел упругости _упр = 294 МПа? Какую долю δ первоначальной длины составляет удлинение проволоки при этом грузе?

53. При проведении спасательных работ с помощью вертолета человек находится на проволоке из углеродистой стали длиной l = 1,5 м и диаметром d = 2,1 мм, масса человека m = 110 кг. Принимая для стали модуль Юнга Е = 118 ГПа и предел пропорциональности _п = 330 МПа, определите: 1) какую долю δ первоначальной длины составляет удлинение проволоки при этом грузе; 2) превышает приложенное напряжение или нет предел пропорциональности.

54. К вертикальной проволоке длиной l = 0,5 м и площадью поперечного сечения S = 2 мм² подвешен груз массой m = 5,1 кг. В результате проволока удлинилась на х = 0,6 мм. Найдите модуль Юнга Е материала проволоки.

55. Две пружины жесткостью k₁ = 0,3 кН/м и k₂ = 0,8 кН/м соединены последовательно. Определить абсолютную деформацию x₁ первой пружины, если вторая деформирована на х₂ = 1,5 см.

56. Определите жесткость k′ системы двух пружин при последовательном и параллельном их соединении. Жесткость пружин k₁ = 2 кН/м и k₂ = 6 кН/м.

57. Трамвай, трогаясь с места, движется с постоянным ускорением а = 0,5 м/с². Через t = 12 с после начала движения мотор трамвая выключается и трамвай движется до остановки равнозамедленно. На всем пути движения трамвая коэффициент трения равен k = 0,01. Найдите: 1) наибольшую скорость движения трамвая υ_max; 2) общую продолжительность движения T; 3) отрицательное ускорение трамвая при равнозамедленном движении a; 4) общее расстояние S, пройденное трамваем.

58. На автомобиль массой m = 1 т во время движения действует сила трения, равная 0,1 его силы тяжести. Чему должна быть равна сила тяги F, развиваемая мотором автомобиля, чтобы автомобиль двигался: 1) равномерно; 2) с ускорением a = 2 м/с²?

59. При торможении железнодорожного вагона его скорость равномерно изменяется за время t = 3,3 с от υ₀ = 47,5 км/ч до υ = 30 км/ч. Определите, при каком предельном значении коэффициента трения μ ящики начнут скользить по полу.

60. Если со стены начинает свисать больше четверти от всей длины каната, то он начинает скользить. Определите, чему равен коэффициент трения μ каната о стену?

61. На бензовоз массой m = 1 т во время движения действует сила трения, равная 0,1 его силы тяжести. Найдите силу тяги F, развиваемую мотором бензовоза, если бензовоз движется с постоянной скоростью: 1) в гору с уклоном h = 1 м на каждые s = 25 м пути; 2) под гору с тем же уклоном.

62. Наклонная плоскость, образующая угол  = 25⁰ с плоскостью горизонта, имеет длину l = 2 м. Ведро, двигаясь равноускоренно, соскользнуло с этой плоскости за время t = 2 с. Определите коэффициент трения μ ведра о плоскость.

63. Шайба, пущенная по поверхности льда с начальной скоростью υ₀ = 20 м/с², остановилась через t = 40 с. Найдите коэффициент трения μ шайбы о лед.

64. Тело скользит по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α = 45⁰. Зависимость пройденного телом расстояния S от времени t дается уравнением S = Ct², где С = 1,73 м/с². Найдите коэффициент трения тела о плоскость μ.

65. Камень, пущенный по поверхности льда со скоростью υ₀ = 2 м/с, прошел до полной остановки расстояние S = 20,4 м. Найдите коэффициент трения μ камня о лед, считая его постоянным.

66. На горизонтальной поверхности находится доска массой m₂, на которой лежит брусок массой m₁. Коэффициент трения бруска о поверхность доски равен μ. К доске приложена горизонтальная сила F, зависящая от времени по закону F = At, где А – некоторая постоянная. Определите: 1) момент времени t₀, когда доска начинает выскальзывать из-под бруска; 2) ускорения бруска а₁ и доски а₂.

67. По наклонной плоскости высотой H = 0,5 м и длиной склона L = 1 м скользит тело массой m = 3 кг. Тело приходит к основанию наклонной плоскости со скоростью υ = 2,45 м/с. Найдите: 1) коэффициент трения тела о плоскость μ, 2) количество теплоты Q, выделенное при трении. Начальная скорость равна нулю.

68. Автомобиль массой m = 2 т движется в гору. Уклон горы равен h = 4 м на каждые s = 100 м пути. Коэффициент трения равен μ = 8 %. Найдите: 1) работу A, совершенную двигателем автомобиля на пути S = 3 км, 2) мощность P, развиваемую двигателем, если известно, что этот путь был пройден за t = 4 мин.

69. Найдите мощность P, развиваемую двигателем автомобиля, если известно, что автомобиль едет с постоянной скоростью υ = 36 км/ч: 1) по горизонтальной дороге; 2) в гору с уклоном h = 5 м на каждые s = 100 м пути; 3) под гору с тем же уклоном. Коэффициент трения μ = 0,07, масса автомобиля m = 1 т.

70. Трамвайный вагон массой m = 5 т идёт по закруглению радиусом R = 128 м. Найдите силу F бокового давления колёс на рельсы при скорости υ = 9 км/ч.

71. Пожарное ведро с водой, привязанное к верёвке длиной l = 60 см, равномерно вращается в вертикальной плоскости. Найдите: 1) наименьшую скорость вращения ведёрка υ_min, при которой в высшей точке вода из него не выливается; 2) натяжение верёвки T при этой скорости в высшей и низшей точках окружности. Масса ведёрка с водой m = 2 кг.

72. Камень, привязанный к верёвке, равномерно вращается в вертикальной плоскости. Найдите массу камня m, если известно, что разность между максимальным и минимальным натяжением верёвки равна T_max – T_min = 9,8 Н.