Магнитное поле в веществе

Пример 1. Найдите индуктивность L соленоида, полученного при намотке провода длиной l = 12 м на цилиндрический железный стержень длиной l₀ = 24 см. Магнитная проницаемость железа  = 400.

Решение. Индуктивность соленоида найдем по формуле

. (1)

Здесь N – число витков, l₀ – длина соленоида, S – площадь витка соленоида. Получим связь площади витка S с длиной проволоки l:

. (2)

. (3)

Здесь R – радиус витка.

. (4)

С учетом этого выражение для определения индуктивности L принимает вид

. (5)

Подставим числовые данные:

.

Ответ: L = 0,1 Гн.

Движение заряженых частиц в магнитном поле

Пример 1. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов U = 400 В, влетает в однородное магнитное поле напряженностью H = 10³ А/м со скоростью, перпендикулярной линиям магнитной индукции. Определить радиус R кривизны траектории и частоту ν обращения электрона в магнитном поле.

Решение. Радиус кривизны траектории электрона определим исходя из следующих соображений: на движущийся в магнитном поле электрон действует сила Лоренца F_Л (действием силы тяжести можно пренебречь). Сила Лоренца перпендикулярна вектору скорости (α=90⁰) и, следовательно, сообщает электрону нормальное ускорение:

(1)

или

. (2)

Из формулы (2) найдем

. (3)

Входящий в равенство (2) импульс mv может быть выражен через кинетическую энергию E_K электрона:

. (4)

Но кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоренную разность потенциалов U, определяется равенством

. (5)

Подставив (4) в формулу (3), получим

. (6)

Магнитная индукция B может быть выражена через напряженность H магнитного поля в вакууме соотношением:

, (7)

где ₀ — магнитная постоянная.

Подставляя найденные выражения B и mv в формулу (2), определим:

. (8)

Произведем вычисления:

= 5,3710^-2 м = 5,37 см.

Для определения частоты обращения ν воспользуемся формулой, связывающей частоту со скоростью и радиусом:

. (9)

Подставив в формулу (9) выражение (3) для радиуса кривизны, получим

, (10)

или

. (11)

Подставим их и произведем вычисления:

.

Ответ: ν = 3,5210⁷ с^-1.

Пример 2. Во сколько раз электрическая сила, действующая на протон, больше силы Лоренца, если напряженность электрического поля Е = 2 кВ/м, а индукция магнитного поля В = 0,4 Тл? Скорость протона υ= 100 м/с и направлена перпендикулярно линиям индукции магнитного поля.

Решение. Сила, действующая на частицу со стороны электрического поля:

, (1)

а со стороны магнитного поля

. (2)

Разделив первое выражение на второе, получим

. (3)

Произведем вычисления:

.

Ответ: электрическая сила в 50 раз больше силы Лоренца.

Пример 3. Небольшой шарик массой m заряжен положительным зарядом q, подвешен к легкой непроводящей и нерастяжимой нити длиной 2l и помещен в однородное магнитное поле с индукцией B. Вектор перпендикулярен плоскости, в которой может двигаться шарик (рис. 30). Какую минимальную скорость надо сообщить шарику в горизонтальном направлении, чтобы шарик смог совершить полный оборот?

Р ешение.

Рис. 30

Пусть υ₁ – скорость шарика в верхней точке траектории (рис. 30). Запишем проекцию второго закона Ньютона на ось OY, направленную вниз, для момента прохождения шариком этой точки:

. (1)

Здесь T – сила натяжения нити, F_Л – сила Лоренца (F_Л = qυ₁B), mg – сила тяжести, l – радиус окружности, по которой движется шарик.

Запишем закон сохранения и превращения механической энергии для нижней и верхней точек траектории:

, (2)

где и – кинетическая энергия шарика в нижней и верхней точках траектории соответственно; 2mgl ‒ потенциальная энергия шарика в верхней точке траектории. Отсюда

. (3)

Минимальная скорость υ, при которой шарик в верхней точке будет описывать окружность, достигается при T = 0.

Решая совместно уравнения (1) и (2) с учетом упомянутого условия, получим:

.

Ответ: .

Пример 4. Пластинка полупроводника толщиной d = 0,2 мм помещена в однородное магнитное поле с индукцией В = 1 Тл, перпендикулярное пластинке. Перпендикулярно к направлению поля вдоль пластинки пропускается ток I = 0,1 А. При этом возникает поперечная разность потенциалов U = 3,25 мВ. Удельное сопротивление полупроводника 𝜌 = 10 мкОм⋅м. Определить подвижность носителей тока u в полупроводнике.

Решение. Поперечная разность потенциалов:

, (1)

где е ‒ заряд электрона, n – концентрация электронов. Удельная проводимость σ с одной стороны

, (2)

с другой –

. (3)

Здесь u – подвижность носителей тока в проводнике. Выразим из (2) и (3) n:

(4)

и подставим получившееся выражение в (1):

. (5)

Отсюда

. (6)

Подставим числовые данные:

.

Ответ: u = 0,65 м²/В⋅с.

Задачи для самостоятельного решения