Задачи для самостоятельного решения Кинематика поступательного и вращательного движения

1. В каком случае пройденный материальной точкой путь и модуль вектора перемещения совпадают?

2. Координаты материальной точки изменяются со временем по закону x = 4t, y = 3t, z = 0. Найдите зависимость пройденного точкой пути S(t) от времени, отсчитывая расстояние от начального ее положения. Какой путь S пройдет точка за t = 5 с?

3. Через открытое окно в комнату влетел жук. Расстояние от жука до потолка менялось со скоростью υ₁ = 1 м/с, расстояние до стены, противоположной окну, менялось со скоростью υ₂ = 2 м/с, до боковой стены – со скоростью υ₃ = 2 м/с. Через t = 1 с полета жук попал в угол между потолком и боковой стеной комнаты. Определите скорость полета жука и место в окне, через которое он влетел в комнату. Высота комнаты h = 2,5 м, ширина a = 4 м, длина b = 4 м.

4. Строительный самосвал движется по шоссе со скоростью υ₁ = 120 км/ч, а с песком – со скоростью всего υ₂ = 30 км/ч. Чему равна его средняя скорость υ_ср, если: а) самосвал едет половину пути пустой, а вторую половину пути с грузом; б) самосвал едет половину времени пустой, а оставшееся время гружёный?

5. Первую четверть пути пожарный автомобиль проехал со скоростью υ₁ = 10 м/с, вторую со скоростью υ₂ = 15 м/с, третью со скоростью υ₃ = 20 м/с и последнюю со скоростью υ₃ = 5 м/с. Определите среднюю скорость пожарного автомобиля υ_ср на всем пути.

6. Два плитовоза выезжают одновременно из одного города в другой. Расстояние между городами l₀. Один плитовоз проходит первую половину пути со скоростью υ₁, вторую – со скоростью υ₂. Второй плитовоз первую половину всего времени движения проходит со скоростью υ₁, вторую – со скоростью υ₂. Какой из плитовозов и насколько раньше прибудет к месту разгрузки? Каково расстояние l₁ между автомобилями в тот момент, когда один из них финиширует? Решите задачу аналитически и графически.

7. При неподвижном эскалаторе метрополитена пассажир поднимается за t₁ = 120 c, а по движущемуся при той же скорости относительно ступенек – за t₂ = 30 с. Определите время t подъема пассажира, неподвижно стоящего на движущемся эскалаторе.

8. Работник ремонтно-строительного поезда, движущегося со скоростью υ₁ = 15 м/с, заметил, что встречный состав длиной l = 210 м прошел мимо него за t = 6,0 с. Определите скорость встречного поезда υ₂.

9. Определите скорость встречного ветра, если при движении автобуса со скоростью υ₁ = 15 м/с капли дождя, имеющие вертикальную составляющую скорости υ₂ = 10 м/с, образуют на оконном стекле автобуса полосы под углом  = 30⁰.

10. Спасатели на лодке переплывают реку, отправляясь из пункта А. Скорость лодки в стоячей воде υ = 5 м/с, скорость течения реки u = 3 м/с, ширина реки S = 200 м. Определите: а) в какой точке лодка пристанет к противоположному берегу, если держать курс перпендикулярно берегам? б) какой курс следует держать, чтобы попасть в точку В, расположенную строго напротив точки А? Для обоих случаев найдите время переправы.

11. По прямому шоссе движется автобус со скоростью υ₁ = 16 м/с. Впереди по ходу автобуса в поле на расстоянии d = 60 м от шоссе и S = 400 м от автобуса находится человек, который может бежать со скоростью υ₂ = 4 м/с. В каком направлении он должен бежать, чтобы успеть “перехватить” автобус? При какой наименьшей скорости человека υ_2min это возможно? В каком направлении следует бежать с такой скоростью?

12. Движение снаряда описывается уравнением S = 850t 10t². Определите ускорение снаряда a, его начальную скорость υ₀ и скорость υ через t = 5 с после начала движения.

13. Движение материальной точки задано уравнением: x = A + Bt + Ct², где А = 4 м, В = 10 м/с, С = 0,5 м/с². В какой момент t скорость точки равна нулю? Найдите координату и ускорение точки в этот момент.

14. Кинематическое уравнение прямолинейного движения строительного крана имеет вид S = At + Bt³, где А = 510^-2 м/с, В = 210^-6 м/с³. Найдите: 1) зависимость скорости υ(t) и ускорения a(t) от времени и пострйте графики этих зависимостей; 2) перемещение S и скорость движения υ строительного крана через t =15 минут после начала движения.

15. Определите траекторию движения подъёмного крана, заданного уравнениями: x = 4t² + 2; y = 6t²  3; z = 0. Постройте график зависимости пути, пройденного подъёмным краном, от времени.

16. Движение материальной точки задано уравнениями: x = 8t² + 4; y = 6t²  3; z = 0. Определите значения скорости υ и ускорения a точки в момент времени t = 10 с.

17. Определите путь S строительного крана, который движется по прямолинейной траектории в течение t = 10 с, если его скорость изменяется по закону υ = 30 + 2t. В момент времени t₀ = 0, x₀ = 0.

18. Прямолинейное движение точки описывается уравнением . Найдите путь S, пройденный точкой за первые 4 с движения.

19. Частица движется с ускорением . Определите модуль скорости частицы в момент времени t = 2 с, если в начальный момент времени t₀ = 0 ее скорость была .

20. Зависимость пройденного телом пути S от времени t выражается уравнением S =AtBt²+Ct³ (А = 2 м/с, В = 3 м/с², С = 4 м/с³). Запишите выражения для скорости и ускорения. Определите для момента времени t =2 с после начала движения: пройденный путь S; скорость υ; ускорение a.

21. Движение материальной точки в плоскости xy описывается законом x = At, y = At(1 + Bt), где А и В – положительные постоянные. Определите: 1) уравнение траектории материальной точки y(x); 2) радиус-вектор r точки в зависимости от времени; 3) скорость υ точки в зависимости от времени; 4) ускорение a точки в зависимости от времени.

22. Рядом с поездом на одной линии с передними буферами паровоза стоит человек. В тот момент, когда поезд начал двигаться с ускорением а = 0,1 м/с², человек начал идти в том же направлении со скоростью υ =1,5 м/с. Через какое время t поезд догонит человека? Определите скорость υ₁ поезда в этот момент и путь S, пройденный за это время человеком.

23. Со строительной базы в одном направлении, поочерёдно с разницей в t = 2 с, выехали самосвалы: первый с начальной скоростью υ₁ = 1 м/с и ускорением а₁ = 2 м/с², второй – с начальной скоростью υ₂ = 10 м/с и ускорением а₂ = 1 м/с². Определите, через какое время t₁ и на каком расстоянии S от начала движения самосвалы поравняются.

24. Пожаный поезд прошел расстояние S =17 км между двумя станциями со средней скоростью υ_ср =60 км/ч. При этом на разгон в начале движения и торможения перед остановкой ушло в общей сложность t₁ = 4 мин, а остальное время поезд двигался с постоянной скоростью u. Чему равна эта скорость?

25. Время отправления грузового состава t = 12 часов. На станции часы показывают ровно 12, но мимо вас уже начинает проезжать предпоследний вагон, который движется мимо вас в течение t₁ = 10 с. Последний вагон проходит мимо вас в течение t₂ = 8 с. Состав отправился вовремя и движется равноускоренно. На какое время ∆t отстали часы на станции?

26. Движение точки по прямой задано уравнением x = At + Bt², где А = 2 м/с, В = 0,5 м/с². Определите среднюю путевую скорость υ_ср. Движение точки в интервале времени от t₁ = 1 c до t₂ = 3 с.

27. Точка движется по кривой с постоянным тангенциальным ускорением а_ = 0,5 м/с². Определите полное ускорение а точки на участке кривой с радиусом кривизны R = 3 м, если точка движется на этом участке со скоростью υ = 2 м/с.

28. По дуге окружности радиусом R = 10 м движется точка. В некоторый момент времени нормальное ускорение точки а_n = 4,9 м/с²; в этот момент векторы полного и нормального ускорений образуют угол  = 60. Найдите скорость υ и тангенциальное ускорение а_ точки.

29. Движение автокара по кривой задано уравнениями x = A₁t³ и y = A₂t, где А₁ = 1 м/с², А₂ = 2 м/с². Найдите уравнение траектории автокара, его скорость υ и полное ускорение а в момент времени t = 0,8 с.

30. Пожаный автомобиль движется по закруглению шоссе, имеющему радиус кривизны R = 100 м. Уравнение движения пожарного автомобиля имеет вид: S(t) =A+Bt+Ct², где А=20 м, В=54 км/ч, С=0,25 м/с². Определите скорость υ пожарного автомобиля, его нормальное а_n, тангенциальное а_ и полное ускорение a в момент времени t = 10 с, а также среднюю скорость υ_ср и путь S, пройденный автомобилем за это время.

31. Пожарный поезд движется равнозамедленно по закруглению радиусом R и, пройдя путь S, приобретает скорость υ. Его начальная скорость υ₀. Найдите время t движения и полное ускорение a в начале и в конце пути.

32. При падении камня в колодец звук его удара о поверхность воды доносится через t = 5 с. Принимая скорость звука υ = 330 м/с, определите глубину h колодца.

33. Гуманитарный груз, сброшенный с вертолета, за последние 3 с падения проходит половину пути. С какой высоты H сброшен груз, если в момент его сбрасывания вертолет был неподвижен? Сопротивление воздуха не учитывать.

34. С вертолета, находящегося на высоте Н = 1960 м, сброшен гуманитарный груз. Через какое время t груз достигнет земли, если вертолет: 1) неподвижен; 2) поднимается со скоростью υ = 19,6 м/с; 3) опускается со скоростью υ = 19,6 м/с?

35. Вертикально вверх с начальной скоростью υ₀ = 20 м/с брошен камень. Через t = 1 с после этого брошен вертикально вверх другой камень с такой же скоростью. На какой высоте Н встретятся камни?

36. С балкона бросили мячик вертикально вверх с начальной скоростью υ₀ = 5 м/с. Через t = 2 с мячик упал на землю. Определите высоту H балкона над землей и скорость мячика в момент удара о землю.

37. Пистолетная пуля пробила два вертикально закрепленных листа бумаги, расстояние l между которыми равно 30 м. Пробоина во втором листе оказалась на h = 10 см ниже, чем в первом. Определите скорость υ пули, если к первому листу она подлетела, двигаясь горизонтально. Сопротивлением воздуха пренебречь.

38. Снаряд вылетает из ствола орудия, установленного на высоте H = 122,5 м, со скоростью υ = 400 м/с в горизонтальном направлении. Определите время t полета снаряда. Поразит ли снаряд одну из целей, расположенных на расстояниях l₁ = 2 км и l₂ = 5,8 км от орудия (по горизонтали) в направлении полета снаряда? Сопротивлением воздуха пренебречь.

39. С башни высотой Н = 30 м в горизонтальном направлении брошено тело с начальной скоростью υ₀ = 10 м/с. Напишите уравнение траектории тела y(x). Найдите 1) скорость υ тела в момент падения на землю; 2) угол φ, который образует эта скорость с горизонтом в точке его падения.

40. Мешки сбрасывают горизонтально со скоростью υ₀ = 15 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите радиус кривизны траектории R мешков через t = 2 с после начала движения.

41. Камень, брошенный горизонтально с высоты H = 6 м, упал на землю на расстоянии S = 10 м от точки бросания. Напишите уравнение траектории y(x). Найдите: 1) начальную скорость камня υ₀; 2) угол падения φ; 3) нормальное a_n и тангенциальное a_τ ускорение камня через время t = 0,2 с после начала движения; 4) радиус кривизны траектории R в этот момент.

42. Камень брошен с вышки в горизонтальном направлении с начальной скоростью υ₀ = 30 м/с. Определите скорость υ, тангенциальное а_ и нормальное а_n ускорения камня в конце второй секунды после начала движения.

43. Камень брошен с вышки в горизонтальном направлении. Через промежуток времени t = 2 с камень упал на землю на расстоянии S = 40 м от основания вышки. Определите начальную υ₀ и конечную υ скорости камня.

44. Самолет пикирует со скоростью υ₀ до высоты H₀ под углом  к горизонту. На каком расстоянии S от объекта бомбометания он должен сбросить бомбу? Сопротивлением воздуха пренебречь. Задачу решите в общем виде. Рассмотрите случай, когда самолет выходит из пикирования на высоте H = 10 км при скорости υ = 500 м/с.

45. Подача груза на платформу происходит под углом  к горизонту с начальной скоростью υ₀. Напишите уравнение траектории y(x).

46. Через какое время t вектор скорости тела, брошенного под углом  = 60⁰ к горизонту с начальной скоростью υ₀ = 20 м/с, будет составлять с горизонтом угол  = 30⁰? Сопротивление воздуха не учитывать.

47. Артиллерийское орудие установлено на горе высотой Н = 75,5 м. Снаряд вылетает из ствола со скоростью υ₀ = 500 м/с под углом  = 30⁰ к горизонту. Определите дальность полета L снаряда и скорость полета υ в момент падения. Сопротивление воздуха не учитывать.

48. Миномет, установленный на крыше здания высотой Н = 60 м, стреляет под углом  = 30⁰ к горизонту и поражает цель, удаленную на расстояние L = 7500 м (по горизонтали). Определите начальную скорость мины υ₀ и продолжительность ее полета t. Сопротивление воздуха не учитывать.

49. С башни высотой Н = 40 м брошено тело с начальной скоростью υ₀ = 20 м/с под углом  = 45⁰ к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите: 1) время t движения тела; 2) на каком расстоянии S от основания башни тело упадет на землю; 3) скорость υ падения тела на землю; 4) угол , который составит траектория тела с горизонтом в точке его падения.

50. Пуля пущена с начальной скоростью υ₀ = 200 м/с под углом  = 60⁰ к горизонту. Определите максимальную высоту h подъема, дальность L полета и радиус R кривизны траектории пули в ее наивысшей точке. Сопротивлением воздуха пренебречь.

51. С какой скоростью υ₀ должен в момент старта ракеты вылететь снаряд из пушки, чтобы поразить ракету, стартующую вертикально с ускорением а? Расстояние от пушки до места старта ракеты равно L, пушка стреляет под углом α = 45⁰ к горизонту.

52. Утка летела по горизонтальной прямой с постоянной скоростью u. В нее бросил камень неопытный «охотник», причем бросок был сделан без упреждения, т.е. в момент броска скорость камня υ была направлена как раз на утку под углом  к горизонту. На какой высоте H летела утка, если камень все же попал в нее?

53. Сверхзвуковой самолет летит горизонтально со скоростью υ = 1440 км/ч на высоте H = 20 км. Когда самолет пролетает над зенитной установкой, из орудия производится выстрел. Какова должна быть минимальная начальная скорость υ₀ снаряда и угол  ее с горизонтом, чтобы снаряд попал в самолет?

54. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом R = 4 м, задается уравнением a_n = A+Bt+Ct² (А=1 м/с², В = 3 м/с³, С = 9 м/с⁴). Определите: 1) тангенциальное ускорение точки а_; 2) путь S, пройденный точкой за время t₁ = 5 c после начала движения; 3) полное ускорение a для момента времени t₂ = 1 с.

55. Зависимость пройденного телом пути по окружности радиусом R = 3 м задается уравнением S = At² + Bt (A = 0,4 м/с², В = 0,1 м/с). Определите для момента времени t = 1 c после начала движения ускорения: 1) нормальное a_n; 2) тангенциальное a_τ; 3) полное a.

56. Материальная точка начинает двигаться по окружности радиусом R = 12,5 см с постоянным тангенциальным ускорением а_ = 0,5 см/с². Определите: 1) момент времени t, при котором вектор ускорения а образует с вектором скорости угол  = 45⁰; 2) путь S, пройденный за это время движущейся точкой.

57. Линейная скорость υ₁ точки, находящейся на ободе вращающегося колеса, в три раза больше, чем линейная скорость υ₂ точки, находящейся на 6 см ближе к его оси. Определите радиус колеса R.

58. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением  = 3 рад/с². Определите радиус колеса R, если через t = 1 с после начала движения полное ускорение колеса a = 7,5 м/с².

59. Два бумажных диска насажены на общую горизонтальную ось так, что плоскости их параллельны и отстоят на расстоянии d = 30 см друг от друга. Диски вращаются с частотой равной ν = 25 Гц. Пуля, летевшая параллельно оси на расстоянии r = 12 см от нее, пробила оба диска. Пробоины в дисках смещены друг относительно друга на расстоянии S = 5 см, считая по дуге окружности. Найдите среднюю путевую скорость υ_ср пули в промежутке между дисками и оцените создаваемое силой тяжести смещение пробоин в вертикальном направлении. Сопротивление воздуха не учитывать.

60. Ось с двумя дисками, расположенными на расстоянии l = 0,5 м друг от друга, вращается с частотой ν = 1600 об/мин. Пуля, летящая вдоль оси, пробивает оба диска; при этом отверстие от пули во втором диске смещено относительно отверстия в первом диске на угол  = 12⁰. Найдите скорость υ пули.

61. Маховик начал вращаться равноускоренно и за время t = 10 с достиг частоты вращения ν = 300 мин^1. Определите угловое ускорение  маховика и число N оборотов, которое он сделал за это время.

62. Барабан бетономешалки вращается с угловым ускорением  = 2 рад/с². Сколько оборотов N сделает барабан при изменении частоты вращения от ν₁ = 240 мин^1 до ν₂ = 90 мин^1? Найдите время t, в течение которого это произойдет.

63. Найти радиус R вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость υ₁ точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше линейной скорости υ₂ точки, лежащей на расстоянии r = 5 см ближе к оси колеса.

64. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости  = 20 рад/с через N = 10 об. после начала вращения. Найдите угловое ускорение  колеса.

65. За время движения в канале ствола пуля делает один полный оборот. Какова средняя угловая скорость ω_ср вращения пули, если в момент вылета скорость ее υ = 860 м/с, а длина ствола L = 1 м? Чему равно среднее угловое ускорение ε_ср пули?

66. Определите угловую скорость ω и угловое ускорение ε твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z по закону  = at  bt², где а = 20 с^1, b = 1 с^2. Каков характер движения этого тела? Постройте графики зависимости угловой скорости и углового ускорения от времени.

67. Диск радиусом R = 10 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением  =A+Bt+Ct² +Dt³ (В = 1 рад/с, С = 1 рад/с², D = 1 рад/с³). Определите для точек на ободе диска к концу второй секунды после начала движения: 1) тангенциальное ускорение а_; 2) нормальное ускорение а_n; 3) полное ускорение a.

68. Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением  = At² (A = 0,1 рад/с). Определите полное ускорение а точки на ободе диска к концу второй секунды после начала движения, если линейная скорость этой точки в этот момент υ = 0,4 м/с.

69. На цилиндр, который может вращаться около горизонтальной оси, намотана нить. К концу нити привязали грузик и предоставили ему возможность опускаться. Двигаясь равноускоренно, грузик за время t = 3 c опустился на h = 1,5 м. Определите угловое ускорение  цилиндра, если его радиус R = 4 см.