Движение заряженных частиц в магнитном поле
Сила Лоренца:
где ‒ сила, действующая на заряд q, движущийся в магнитном поле индукцией со скоростью .
Модуль силы Лоренца:
где – угол между направлениями векторов скорости частицы и магнитной индукции.
Результирующая сила, действующая на движущийся заряд со стороны магнитного и электрического полей:
где и – напряженность электрического и индукция магнитного полей соответственно.
Холловская поперечная разность потенциалов:
,
где В – магнитная индукция I ‒ сила тока d – толщина пластинки R = 1/(е n) – постоянная Холла (е – заряд электрона, n – концентрация электронов).
Примеры решения задач Электростатика
Пример 1. Два маленьких одинаковых заряженных шарика, находящиеся на расстоянии r = 0,2 м друг от друга, притягиваются с силой F1 = 4⋅10-3 H. После того, как шарики были приведены в соприкосновение и затем разведены на прежнее расстояние, они стали отталкиваться с силой F2 = 2,25⋅10-3 H. Определить первоначальные заряды шариков.
Решение. Так как вначале шарики притягивались, то их заряды противоположны по знаку. По закону Кулона
(1)
После приведения
шариков в соприкосновение заряд
перераспределяется и на каждом из
шариков становится равным
.
Сила, с которой теперь взаимодействуют
шарики
(2)
Решая совместно уравнения (1) и (2), находим
,
(3)
.
(4)
Для определения q1 и q2 воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме и соотношениям (3) и (4), q1 и q2 – корни квадратного уравнения:
.
(5)
Находим эти корни:
,
(6)
где k = 9109Ф/м.
Следовательно,
,
(7)
.
(8)
Заметим, что в соответствии с симметрией задачи возможны и такие значения зарядов: q1 = ‒2,67⋅10-7 Кл, q2 = 0,67⋅10-7 Кл.
Ответ: q1 = 2,67⋅10-7 Кл, q2 = ‒ 0,67⋅10-7 Кл.
Пример 2. Два точечных заряда q1 = 6 нКл и q2 = ‒ 6 нКл расположены на расстоянии r = 5 см. Найти напряженность E электрического поля в точке, находящейся на расстоянии a = 3 см от положительного и отрицательного зарядов.
Решение.
Рис. 27
Согласно принципу суперпозиции полей:
,
(1)
где и – векторы напряженности полей, создаваемых в точке А точечными зарядами q1 и q2 соответственно. Модули этих векторов:
.
(2)
Здесь a – расстояние от зарядов q1 и q2 соответственно до точки А.
Из рис. 27 (Δ CMN) следует, что:
.
(3)
Откуда
.
(4)
Из треугольника Δ ВDC найдем:
.
(5)
Подставив (2) и (5) в (4), окончательно получаем
.
(6)
Подставим числовые данные:
.
Ответ: напряженность электрического поля E = 100 мВ/м.
Пример 3. На пластинах плоского конденсатора находится заряд q = 10 нКл. Площадь каждой пластины конденсатора равна S = 100 см2, диэлектрик – воздух. Определить силу, с которой притягиваются пластины. Поле между пластинами считать однородным.
Решение. Заряд q одной пластины находится в поле напряженностью E1, созданном зарядом другой пластины конденсатора. Следовательно, на первый заряд действует сила
.
(1)
Напряженность поля пластины:
,
(2)
где σ – поверхностная плотность заряда пластины, ε0 – электрическая постоянная, ε – диэлектрическая проницаемость, по условию задачи равная 1.
С учетом выражения (2) формула (1) примет вид
.
(3)
Подставив числовые данные в (3), получим
.
Ответ: сила, с которой притягиваются пластины, F = 565 мкН.
Пример 4. Шарик с массой m = 1 г и зарядом q = 10 нКл перемещается из точки 1, потенциал которой 1 = 600 В, в точку 2, потенциал которой 2 = 0. Найти его скорость в точке 1, если в точке 2 она стала равной υ2 = 20 см/с.
Решение. Работа сил поля по перемещению заряда q из точки поля с потенциалом φ1 в точку с потенциалом φ2:
.
(1)
С другой стороны, работа равна изменению кинетической энергии заряда:
.
(2)
Приравняем (1) к (2), учитывая, что 2=0:
.
(3)
.
(4)
.
(5)
Откуда
.
(6)
Подставим в (6) числовые данные:
.
Ответ: скорость заряда в точке 1 υ1 = 0,17 м/с.