Релятивистская механика
Преобразования Лоренца:
где предполагается, что система отсчета K′ движется со скоростью v в положительном направлении оси х системы отсчета K, причем оси x′ и x совпадают, а оси y′ и y, z′ и z параллельны; с – скорость распространения света в вакууме.
Релятивистское замедление хода часов:
где
– промежуток времени между двумя
событиями, отсчитанный движущимися
вместе с телом часами;
– промежуток времени между теми же
событиями, отсчитанный покоящимися
часами.
Релятивистское (лоренцово) сокращение длины стержня:
где l0 – длина стержня в системе координат K′, относительно которой стержень покоится (собственная длина, стержень параллелен оси x′); l – длина стержня, измеренная в системе K, относительно которой он движется со скоростью υ; с – скорость распространения электромагнитного излучения.
Релятивистское сложение скоростей:
где υ′ – относительная скорость тела в системе K′; υ0 – скорость тела относительно системы K.
Сложение скоростей в пространстве:
где система
отсчета K движется со
скоростью υ в положительном
направлении оси х системы отсчета
K, причем оси
и
х совпадают, оси
и y, оси
и z параллельны.
Интервал S12 между событиями (инвариантная величина):
где t12 – промежуток времени между событиями 1 и 2; l12 – расстояние между точками, где произошли события.
Релятивистская масса:
где m0 – масса покоя.
Релятивистский импульс:
Основной закон релятивистской динамики:
где
– релятивистский импульс частицы.
Полная энергия релятивистской частицы:
где EK – кинетическая энергия частицы,
– её энергия покоя. Частица называется релятивистской, если скорость частицы сравнима со скоростью света, и классической, если υ << c.
Кинетическая энергия релятивистской частицы:
Связь полной энергии с импульсом релятивистской частицы:
,
Энергия связи системы:
где m0i – масса покоя i – й частицы в свободном состоянии; М0 – масса покоя системы, состоящей из N частиц.
Примеры решения задач Кинематика поступательного и вращательного движения
Пример 1.
Уравнение движения материальной точки
имеет вид х = А + Bt + Ct
,
где А = 2 м, В = 1 м/с, С = – 0,5
м/с
.
Найдите координату х, скорость υx
и ускорение axточки
в момент времени t = 2 с.
Решение. Координату х найдем, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов А, В и С и времени t:
х = (2 + 1·2 – 0,5·23) = 0. (1)
Мгновенная скорость относительно оси х есть первая производная от координаты по времени:
.
(2)
Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени:
.
(3)
В момент времени t = 2 с.
Ответ: υx = – 5 м/с; ax = – 6 м/с2.
Пример 2. Автобус движется со скоростью υ = 18 км/ч. С некоторого момента он начинает двигаться с ускорением a в течение t = 10 с, а последние 110 м проходит за одну секунду. Определите ускорение и конечную скорость автобуса υ1.
Р
ешение.
Весь путь, проделанный автобусом,
делится на два S1
и S2 (рис.
15).
Рис. 15
Запишем для двух этих участков уравнения движения:
;
(1)
(2)
и законы изменения скорости:
,
(3)
.
(4)
Подставим (3) в (2):
.
(5)
Выразим a:
.
(6)
Подставим в (6) числовые данные:
.
Теперь подставим (3) в (4):
(7)
Произведем вычисления:
υ1 = 5 м/с + 10 м/с2 (10 с + 1 с) = 115 м/с.
Ответ: ускорение автобуса a = 10 м/с2, конечная скорость автобуса υ1 = 115 м/с.
Пример 3.
Тело вращается вокруг неподвижной оси
по закону φ = A+Bt+Ct2,
где А = 10 рад, В = 20 рад/с, С = –
2 рад/с
.
Найдите полное ускорение a
точки, находящейся на расстоянии r
= 0,1 м от оси вращения, для момента времени
t = 4 с.
Решение.
Полное ускорение
точки, движущейся по кривой линии, может
быть найдено как геометрическая сумма
тангенциального ускорения
,
направленного по касательной к траектории,
и нормального ускорения
,
направленного к центру кривизны
траектории:
+
.
(1)
Так как векторы и взаимно перпендикулярны, то модуль ускорения равен
.
(2)
Модули тангенциального и нормального ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами
,
,
(3)
где ω – модуль угловой скорости тела; ε – модуль его углового ускорения.
Подставляя выражения aτ и an в формулу (2), находим
.
(4)
Угловую скорость ω найдем, взяв первую производную от угла поворота по времени:
.
(5)
В момент времени t = 4 с модуль угловой скорости:
.
(6)
Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от угловой скорости по времени:
.
(7)
Подставляя значения ω, ε и r в формулу (4), получим
.
Ответ:
a = 1,65 м/c2.