Глава 4. Электричество и магнетизм теоретические сведения Электростатика
Закон Кулона:
где F – сила взаимодействия двух точечных зарядов q1 и q2; r – расстояние между зарядами; – диэлектрическая проницаемость среды; 0 – электрическая постоянная (0 = 8,85 ×Ч 1012 Ф/м).
Закон сохранения зарядов:
где
– алгебраическая сумма зарядов, входящих
в изолированную систему; N
– число зарядов.
Напряженность электрического поля:
где – сила, действующая на точечный положительный заряд q, помещенный в электрическое поле.
Принцип
суперпозиции (наложения) электрических
полей, согласно которому напряженность
результирующего поля, созданного двумя
и более зарядами, равна векторной
(геометрической) сумме напряженнoстей
складываемых полей:
.
В случае двух
электрических полей с напряженностями
и
модуль вектора напряженности:
,
где – угол между векторами и .
Электрический момент диполя (дипольный момент):
где – плечо диполя.
Модуль напряженности электрического поля диполя:
,
где p –
электрический момент диполя; r –
радиус-вектор, проведенный из центра
диполя в точку, где определяется E;
– угол между векторами
и
.
Поток вектора напряженности через площадку dS:
где
– вектор, модуль которого равен dS,
а направление совпадает с направлением
нормали
к площадке; En
– проекция вектора
на нормаль
к площадке.
Поток вектора напряженности через произвольную поверхность S:
Теорема Остроградского – Гаусса:
поток вектора напряженности через любую замкнутую поверхность, охватывающую заряды q1,q2 . . . qN:
где – алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри замкнутой поверхности, N – число зарядов.
Линейная плотность заряда:
Поверхностная плотность заряда:
Объемная плотность заряда:
т.е. соответственно заряд, приходящийся на единицу длины, поверхности и объема.
Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной плоскостью:
.
Напряженность поля, создаваемого двумя бесконечными параллельными разноименными плоскостями:
.
Если плоскость представляет собой диск радиусом R, то напряженность поля в точке, находящейся на перпендикуляре, восстановленном из центра диска на расстоянии a от него:
.
Напряженность поля, образованного заряженной бесконечно длинной нитью:
где а – расстояние от нити до данной точки.
Если нить имеет конечную длину, то напряженность поля в точке, находящейся на перпендикуляре, восстановленном из середины нити на расстоянии а от нее:
где θ ‒ угол между направлением нормали к нити и радиус-вектором, проведенным из рассматриваемой точки к концу нити.
Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью R с общим зарядом q на расстоянии r от центра сферы:
E = 0 при r < R (внутри сферы),
при r ≥ R
(вне сферы).
Напряженность поля, создаваемого объемно заряженным шаром радиусом R с общим зарядом Q на расстоянии r от центра шара:
при r ≤ R
(внутри шара),
при r ≥ R (вне шара).
Поляризованность:
,
где V – объем диэлектрика; – дипольный момент i -й молекулы.
Связь между поляризованностью диэлектрика и напряженностью электростатического поля:
,
где x – диэлектрическая восприимчивость вещества.
Связь диэлектрической проницаемости ε c диэлектрической восприимчивостью x:
.
Связь между напряженностью в диэлектрике и напряженность E0 внешнего поля:
,
или
.
Связь между векторами электрического смещения и напряженностью электростатического поля:
Связь между
,
и
:
Теорема Остроградского - Гаусса для электростатического поля в диэлектрике:
где – алгебраическая сумма заключенных внутри замкнутой поверхности S свободных электрических зарядов; Dn – составляющая вектора по направлению нормали к площадке dS; – вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с нормалью к площадке.
Работа электрического поля по перемещению заряда q:
,
где
.
Электростатическое поле является потенциальным полем, следовательно, для него справедливо:
dA = – dEП,
A = – (EП2 – EП1),
где EП1, EП2 – потенциальная энергия. Потенциал есть величина, равная отношению потенциальной энергии точечного положительного заряда, помещенного в данную точку поля, к этому заряду:
или потенциал электрического поля есть величина, равная отношению работы поля по перемещению точечного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность к этому заряду:
Потенциал электрического поля в бесконечности условно принят равным нулю. Потенциал электрического поля, создаваемый точечным зарядом q на расстоянии r от заряда:
Потенциал электрического поля, создаваемого металлической, несущей заряд q сферой радиусом R, на расстоянии r от центра сферы:
при r < R
(внутри сферы),
при r = R (на поверхности сферы),
при r > R
(вне сферы).
Потенциал электрического поля, созданного системой N точеных зарядов, в данной точке в соответствии с принципом суперпозиции электрических полей равен алгебраической сумме потенциалов 1, 2, . . . n, создаваемых отдельными точечными зарядами q1, q2, . . . qn:
Энергия W взаимодействия систем точечных зарядов q1, q2, . . . qn определяется работой, которую эта система зарядов может совершить при удалении их относительно друг друга в бесконечность, и выражается формулой
где i – потенциал поля, создаваемого всеми N зарядами (за исключением i - го) в точке, где расположен заряд qi.
Потенциал связан с напряженностью электрического поля соотношением
;
.
В случае однородного поля, т.е. поля, напряженность которого в каждой точке одинакова как по модулю, так и по направлению:
,
где 1 и 2 – потенциалы точек двух эквипотенциальных поверхностей; d – расстояние между этими поверхностями вдоль электрической силовой линии.
Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении точечного заряда q из одной точки поля, имеющей потенциал 1, в другую, имеющую потенциал 2:
где El – проекция вектора напряженности на направление перемещения; dl – перемещение.
В случае однородного поля:
где l – перемещение; α – угол между направлением вектора и перемещением l.
Напряжение (разность потенциалов, взятая с обратным знаком) между двумя точками электрического поля определяется работой, которую надо совершить, чтобы единицу положительного заряда перенести из одной точки в другую:
Циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль замкнутого контура:
где El
– проекция вектора
на направление элементарного перемещения
.
Интегрирование производиться по любому
замкнутому пути L.
Электроемкость уединенного проводника:
где q – заряд, сообщенный проводнику; φ – потенциал проводника.
Электрическая емкость плоского конденсатора:
где S – площадь каждой пластинки конденсатора; d – расстояние между пластинами.
Электрическая емкость уединенной проводящей сферы радиусом R, находящейся в бесконечной среде с диэлектриком проницаемостью ε:
Электрическая емкость сферического конденсатора (две концентрические сферы радиусами R1 и R2, пространство между которыми заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε):
Электрическая емкость цилиндрического конденсатора:
где l – длина обкладок конденсатора; R1 и R2 – радиусы полых коаксиальных цилиндров.
Электрическая
емкость батареи последовательно
соединенных конденсаторов:
где n – число конденсаторов. Для двух конденсаторов
в случае n одинаковых конденсаторов с электроемкостью C1 каждый
Электрическая емкость параллельно соединенных конденсаторов:
Энергия уединенного заряженного проводника:
Энергия заряженного конденсатора:
Сила притяжения между двумя разноименными обкладками конденсатора:
Энергия электростатического поля плоского конденсатора:
где S – площадь одной пластинки; U – разность потенциалов между пластинками; V = Sd – объем конденсатора.
Объемная плотность энергии:
где D – электрическое смещение.
В электрическом поле заряженная частица получает ускорение:
где q – заряд частицы; m – масса частицы; E – напряженность электрического поля (это равенство справедливо для однородных полей).
Электрическое поле совершает работу по перемещению заряженных частиц:
где U – разность потенциалов (напряжение); υ1 и υ2 – начальные и конечные скорости частиц.
Угол между направлением движения частицы и осью OХ (рис. 26):
Рис. 26
.