Основы термодинамики

Пример 1. Средняя длина свободного пробега молекулы углекислого газа при нормальных условиях равна 40 нм. Какова средняя арифметическая скорость молекул? Сколько столкновений в секунду испытывает молекула?

Решение. Средняя арифметическая скорость молекул определяется по формуле

,

где M – масса киломоля газа.

Подставив числовые значения, получим

Число столкновений молекулы в секунду зависит о средней скорости молекул и от ее средней длины свободного пробега и выражается формулой

Подставив в эту формулу значения

= 362 м/с, =40 нм=40⋅10^-9 м = 4⋅10^-8м,

получим

Ответ: = 9,05⋅10⁹ с^-1.

Пример 2. Вычислите удельные теплоемкости при постоянном объеме с_V и при постоянном давлении c_P неона и водорода, принимая эти газы за идеальные.

Решение. Удельные теплоемкости идеальных газов выражаются формулами

, (1)

, (2)

где i – число степеней свободы молекулы газа; M – молярная масса.

Для неона (одноатомный газ) i = 3, M = 20⋅10^-3 кг/моль.

Для водорода (двухатомный газ) i = 5 и M = 2⋅10^-3 кг/моль. Тогда

Ответ: неон: c_V = 0,62 кДж/(кгК), c_P = 1,04 кДж/(кгК);

водород: c_V = 10,4 кДж/(кгК), c_P = 14,5 кДж/(кгК).

Пример 3. Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно. Температура теплоотдатчика Т₁ = 500 К. Определите термический КПД цикла и температуру Т₂ теплоприемника тепловой машины, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от теплоотдатчика, машина совершает работу А = 350 Дж.

Решение. Термический КПД тепловой машины показывает, какая доля теплоты, полученной от теплоотдатчика, превращается в механическую работу. Термический КПД выражается формулой

(1)

где Q₁ – теплота, полученная от теплоотдатчика; А – работа, совершенная рабочим телом тепловой машины.

Зная КПД цикла, можно по формуле =(Т₁–Т₂)/Т₁ определить температуру охладителя Т₂:

₍₂₎

Произведем вычисления:

Ответ: η = 325 К.

Задачи для самостоятельного решения Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов

1. Определите массу m молекулы: 1) углекислого газа; 2) поваренной соли.

2. Найдите молярную массу M серной кислоты H₂SO₄.

3. В сосуде вместимостью V = 2 л находится кислород, количество вещества  которого равно 0,2 моль. Определите плотность  газа.

4. Определите количество вещества  и число N молекул азота массой m = 0,2 кг.

5. В сосуде вместимостью V = 12 л находится газ, число молекул которого равно N = 1,44·10¹⁸. Определите концентрацию n молекул газа.

6. Определите вместимость V сосуда, в котором находится газ, если концентрация молекул n = 1,25·10²⁶ м^-3, а общее их число N = 2,5·10²³.

7. В сосуде вместимостью V = 5 л находится кислород, концентрация молекул которого n = 9,41·10²³ м^-3. Определите массу m газа.

8. Определите число N атомов в 1 кг водорода и массу m₀ одного атома водорода.

9. В закрытом сосуде вместимостью V = 20 л находятся водород массой m₁ = 6 г и гелий массой m₂ = 12 г. Определите: 1) давление P; 2) молярную массу газовой смеси в сосуде M, если температура смеси T = 300 К.

10. Определите плотность ρ смеси газов водорода массой m₁ = 8 г и кислорода массой m₂ = 64 г при температуре T = 290 К и при давлении P = 0,1 МПа. Газы считать идеальными.

11. В баллоне вместимостью V = 15 л находится азот под давлением P₁ = 100 кПа при температуре t₁ = 27 ⁰С. После того как из баллона выпустили азот массой m = 14 г, температура газа стала равной t₂ = 17 ⁰С. Определите давление азота P₂, оставшегося в баллоне.

12. Баллон вместимостью V = 20 л содержит смесь водорода и азота при температуре T = 290 К и давлении P = 1 МПа. Определите массу водорода m₁, если масса смеси m = 150 г.

13. Азот массой m = 7 г находится под давлением P₁ = 0,1 МПа и температуре T₁ = 290 К. Вследствие изобарного нагревания азот занял объем V₂ = 10 л. Определите: 1) объем V₁ газа до расширения; 2) температуру T₂ газа после расширения.

14. В сосуде вместимостью V = 1 л находится кислород массой m = 1 г. Определите концентрацию n молекул кислорода в сосуде.

15. В сосуде вместимостью V = 5 л при нормальных условиях находится азот. Определите: 1) количество вещества ; 2) массу кислорода m; 3) концентрацию n его молекул в сосуде.

16. Молекула азота, летящая со скоростью υ = 600 м/с, упруго ударяется о стенку сосуда по нормали к ней. Найдите импульс p, полученный стенкой сосуда.

17. Молекула аргона, летящая со скоростью υ = 500 м/с, упруго ударяется о стенку сосуда. Направление скорости молекулы и нормаль к стенке сосуда составляет угол α = 60⁰. Найдите импульс p, полученный стенкой сосуда.

18. Молекула азота летит со скоростью υ = 430 м/с. Найдите импульс p этой молекулы.

19. Найдите число молекул n водорода в единице объема сосуда при давлении Р = 266,6 Па, если среднеквадратичная скорость его молекул = 2,4 км/с.

20. Среднеквадратичная скорость молекул некоторого газа = 450 м/с. Давление газа Р = 50 кПа. Найдите плотность газа  при этих условиях.

21. Плотность некоторого газа  = 0,06 кг/м³, среднеквадратичная скорость его молекул = 500 м/с. Найдите давление Р, которое газ оказывает на стенки сосуда.

22. Во сколько раз среднеквадратичная скорость пылинки, взвешенной в воздухе, меньше среднеквадратичной скорости молекул воздуха? Масса пылинки m = 10^-8 г. Воздух считать однородным газом, молярная масса которого M = 0,029 кг/моль.

23. В сосуде объемом V = 2 л находится масса m = 10 г кислорода при давлении p = 90,6 кПа. Найдите среднеквадратичную скорость молекул газа, число молекул N, находящихся в сосуде, и плотность  газа.

24. Какое число молекул n содержит единица объема сосуда при температуре t = 10 ⁰С и давлении P = 1,33·10^-9 Па?

25. Для получения хорошего вакуума в стеклянном сосуде необходимо прогревать стенки сосуда при откачке для удаления адсорбированного газа. На сколько может повыситься давление в сферическом сосуде радиусом r = 10 см, если адсорбированные молекулы перейдут со стенок в сосуд? Площадь поперечного сечения молекул S₀ = 10^-19 м². Температура газа в сосуде t = 300 ⁰С. Слой молекул на стенках считать мономолекулярным.

26. В сосуде находится количество ₁ = 10^-7 моль кислорода и масса m₂ = 10^-6 г азота. Температура смеси t = 100 ⁰С, давление в сосуде P = 133 мПа. Найдите объем V сосуда, парциальные давления P₁ и P₂ кислорода и азота и число молекул n в единице объема сосуда.

27. В момент взрыва атомной бомбы развивается температура T10⁷ К. Считая, что при такой температуре все молекулы полностью диссоциированы на атомы, а атомы ионизированы, найдите среднеквадратичную скорость иона водорода.

28. Некоторый газ плотностью  = 0,082 кг/м³ находится под давлением Р = 100 кПа и температуре t = 17 ⁰С. Найдите среднеквадратичную скорость молекул газа. Какова молярная масса M этого газа?

29. Из ядра атома радия вылетают α-частицы (M = 4 кг/моль) со скоростью υ = 15,3 Мм/с. При какой температуре атомы гелия имели бы такую же среднеквадратичную скорость?

30. Определите среднеарифметическую скорость молекул газа, если известно, что их среднеквадратичная скорость = 600 м/с.

31. Какова наивероятнейшая скорость υ_в при температуре t = 127 ⁰С молекул метана и гелия?

32. Определите наиболее вероятную скорость υ_в молекул газа, плотность ρ которого при давлении P = 40 кПа составляет 0,35 кг/м³.

33. Определите среднюю кинетическую энергию ε₀ поступательного движения молекул газа, находящегося под давлением P = 0,1 Па. Концентрация молекул газа n = 10¹³ см^-3.

34. Определите: 1) наиболее вероятную скорость υ_в; 2) среднеарифметическую ; 3) среднеквадратичную скорости молекул азота (N₂) при t = 27 ⁰С.

35. Какая часть молекул азота при t = 7 ⁰С обладает скоростями, лежащими в интервале от υ₁ = 500 до υ₂ = 510 м/с?

36. Какая часть молекул кислорода обладает скоростями, отличающимися от наивероятнейшей не более чем на 10 м/с, при температурах t₁ = 0 ⁰С, t₂ = 300 ⁰С?

37. В сосуде находится масса m = 8 г кислорода при температуре T = 1600 К. Какое число N_x молекул кислорода имеет кинетическую энергию поступательного движения, превышающую энергию  = 6,65·10^-20 Дж?

38. Обсерватория расположена на высоте h = 3250 м над уровнем моря. Найдите давление P воздуха на этой высоте. Температуру воздуха считать не зависящей от высоты и равной t = 5 ⁰С. Молярная масса воздуха M = 0,029 кг/моль. Давление воздуха на уровне моря P₀ = 101,3 кПа.

39. На какой высоте h давление воздуха составляет 75 % от давления на уровне моря? Температуру воздуха считать постоянной и равной t = 0 ⁰С.

40. На поверхности земли барометр показывает P₁ = 101 кПа. Каково будет показание барометра P₂ при подъеме его на телевизионную башню Московского телецентра в Останкино высотой H = 533 м? Температуру считать постоянной и равной t = 7 ⁰С.

41. При подъеме вертолета на некоторую высоту барометр, находящийся в его кабине, изменил свое показание на ∆P = 11 кПа. На какой высоте H летит вертолет, если на взлетной площадке барометр показывал P₁ = 0,1 МПа? Температуру воздуха считать постоянной и равной t = 17 ⁰С.

42. Каковы давление и число молекул в единице объема воздуха на высоте H = 2 км над уровнем моря? Давление на уровне моря P₁ = 101 кПа, а температура t₁ = 10 ⁰С. Изменением температуры с высотой пренебречь.

43. Найдите плотность  воздуха: а) у поверхности Земли; б) на высоте H = 4 км от поверхности Земли. Температуру воздуха считать не зависящей от высоты и равной t = 0⁰С. Давление воздуха у поверхности Земли Р₀ = 100 кПа.

44. На какой высоте H плотность газа вдвое меньше его плотности на уровне моря? Температуру газа считать не зависящей от высоты и равной t = 0⁰С. Задачу решите для: а) воздуха; б) водорода.

45. Найдите среднюю длину свободного пробега молекул углекислого газа при температуре t = 100 ⁰С и давлении Р = 13,3 Па. Диаметр молекул углекислого газа d = 0,32 нм.

46. При помощи манометра, установленного на искусственном спутнике Земли, было обнаружено, что на высоте h = 300 км от поверхности Земли концентрация частиц газа в атмосфере n = 10¹⁵ м^-3. Найдите среднюю длину свободного пробега частиц газа на высоте. Диаметр частиц газа d = 0,2 нм.

47. Найдите среднюю длину свободного пробега молекул воздуха при нормальных условиях. Диаметр молекул воздуха d = 0,3 нм.

48. Найдите среднее число столкновений в единицу времени молекул углекислого газа при температуре t = 100 ⁰С, если средняя длина свободного пробега l = 870 мкм.

49. Найдите среднее число столкновений в единицу времени молекул азота при давлении Р = 53,33 кПа и температуре t = 27 ⁰С.

50. В сосуде объемом V = 0,5 л находится кислород при нормальных условиях. Найдите общее число столкновений z между молекулами кислорода в этом объеме за единицу времени.

51. Ниже какого давления можно говорить о вакууме между стенками сосуда Дьюара, если расстояние между стенками сосуда l = 8 мм, а температура t = 17 ⁰С? Эффективный диаметр молекул воздуха принять равным d_эфф = 0,27 нм.

52. Давление разреженного газа в рентгеновской трубке при температуре t = 17 ⁰С равно P = 130 мкПа. Можно ли вести разговор о высоком вакууме, если характерный размер l₀ (расстояние между катодом и анодом трубки) составляет 50 мм? Эффективный диаметр молекул воздуха принять равным d_эфф = 0,27 нм.

53. При температуре T = 300 К и некотором давлении средняя длина свободного пробега молекул кислорода l = 0,1 мкм. Чему равно среднее число столкновений, испытываемых молекулами в 1 с, если сосуд открывать до 0,1 первоначального давления? Температуру газа считать постоянной.

54. Определите коэффициент диффузии D кислорода при нормальных условиях. Эффективный диаметр молекул кислорода принять равным 0,36 нм.

55. Определите массу m азота, прошедшего вследствие диффузии через площадку S = 50 см² за t = 20 с, если градиент плотности в направлении, перпендикулярном площадке, равен 1 кг/м⁴. Температура азота T = 290 К, а средняя длина свободного пробега его молекул = 1 мкм.

56. Найдите коэффициент диффузии D водорода при нормальных условиях, если средняя длина свободного пробега l = 0,16 мкм.

57. Найдите среднее число столкновений z в единицу времени молекул некоторого газа, если средняя длина свободного пробега l = 5 мкм, а среднеквадратичная скорость его молекул = 500 м/с.

58. Найдите теплопроводность  воздуха при давлении P = 100 кПа и температуре t = 10 ⁰С. Диаметр молекул воздуха d = 0,3 нм.

59. В сосуде объемом V = 2 л находится N = 4·10²² молекул двухатомного газа. Теплопроводность газа  = 14 мВт/(м·К). Найдите коэффициент диффузии D газа.

60. Определите коэффициент теплопроводности  азота, находящегося в некотором объеме при температуре 280 К. Эффективный диаметр молекул азота принять равным 0,38 нм.

61. Кислород находится при нормальных условиях. Определите коэффициент теплопроводности  кислорода, если эффективный диаметр его молекул d_эфф = 0,36 нм.

62. Пространство между двумя параллельными пластинами площадью S = 150 см² каждая, находящимися на расстоянии a = 5 мм друг от друга, заполнено кислородом. Одна пластина поддерживается при температуре t₁ = 17 ⁰С, другая – при температуре t₂ = 27 ⁰С. Определите количество теплоты Q, прошедшее за t = 5 мин посредством теплопроводности от одной пластины к другой. Кислород находится при нормальных условиях. Эффективный диаметр молекул кислорода считать равным d_эфф = 0,36 нм.

63. Для гелия коэффициент внутреннего трения при t = 0 ⁰С равен 16,3 мкПа·с. Определите диаметр d молекул гелия.

64. Определите, во сколько раз отличаются коэффициенты динамической вязкости  углекислого газа и азота, если оба газа находятся при одинаковой температуре и давлении. Эффективные диаметры молекул этих газов считать равными.

65. Азот находится под давлением P = 100 кПа при температуре T = 290 К. Определите коэффициенты диффузии D и внутреннего трения . Эффективный диаметр молекул азота принять равным 0,36 нм.