Динамика материальной точки и поступательного движения абсолютно твёрдого тела

Пример 1. При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх пуля массой m = 20 г поднялась на высоту h = 5 м. Определите жесткость k пружины пистолета, если она была сжата на х = 10 см. Массой пружины и силами трения пренебречь.

Решение. Рассмотрим систему «пружина–пуля». Так как на тела системы действуют только консервативные силы, то для решения задачи можно применить закон сохранения энергии в механике. Согласно ему полная механическая энергия E₁ системы в начальном состоянии (в данном случае перед выстрелом) равна полной энергии E₂ в конечном состоянии (когда пуля поднялась на высоту h), т.е.

E₁ = Е₂, или E_K1 + E_П1 = E_K2 + E_П2, (1)

где E_K1, E_K2, E_П1 и E_П1 – кинетические и потенциальные энергии системы в начальном и конечном состояниях.

Так как кинетические энергии пули в начальном и конечном состояниях равны нулю, то равенство (1) примет вид

E_П1 = E_П2. (2)

Потенциальная энергия упруго деформированной пружины:

. (3)

Примем потенциальную энергию пули в поле сил тяготения Земли, когда пуля покоится на сжатой пружине, равной нулю, а высоту подъема пули будем отсчитывать от торца сжатой пружины. Тогда энергия системы в начальном состоянии будет равна потенциальной энергии пули на высоте h, т.е. E_П2 = mgh.

Подставив выражения E_П1 и E_П2 в формулу (2), найдем

kx² = mgh,

откуда

(4)

Подставим в формулу (4) значения величин и произведем вычисления:

Ответ: k = 1,96 Н/м.

Пример 2. Шарик плотностью ρ равномерно всплывает на поверхность жидкости. Плотность жидкости ρ₁ в 6 раз больше, чем плотность шарика. Определите отношение силы трения, возникающей между шариком и жидкостью, к силе тяжести, действующей на него.

Решение. По второму закону Ньютона вектроная сумма сил, действующих на шарик, равна нулю, т.к. он всплывает равномерно. Проекция второго закона Ньютона на ось OY, направленную вверх, имеет вид

F_a – mg – F_тр = 0. (1)

Здесь F_a – сила Архимеда, действующая на шарик:

F_a = 𝜌₁⋅V∙g. (2)

Объём V шарика связан с его массой и плотностью соотношением

. (3)

Тогда

. (4)

Подставив (4) в (1), получаем:

F_тр=5mg. (5)

Значит, искомое отношение сил

(6)

Ответ: F_тр / mg = 5.

Работа и энергия

Пример 1. Шар массой m₁, движущийся горизонтально с некоторой скоростью υ₁, столкнулся с неподвижным шаром массой m₂. Шары абсолютно упругие, удар прямой, центральный. Какую долю δ своей кинетической энергии первый шар передал второму?

Решение. Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразится соотношением

, (1)

где Е_К1 – кинетическая энергия первого шара до удара; u₂ и Е_К2 – скорость и кинетическая энергия второго шара после удара.

Как видно из формулы (1), для определения δ надо найти u₂. Согласно условию задачи импульс системы двух шаров относительно горизонтального направления не изменяется и механическая энергия шаров в другие виды не переходит. Пользуясь этим, найдем:

m₁υ₁ = m₁u₁ + m₂u₂; (2)

. (3)

Решим совместно уравнения (2) и (3):

. (4)

Подставив выражение (4) в формулу (1) и сократив на υ₁ и m₁, получим

. (5)

Из найденного соотношения видно, что доля переданной энергии зависит только от масс сталкивающихся шаров.

Ответ: .

Пример 2. Шар массой m = 0,25 кг и радиусом R = 3 см катится без скольжения по горизонтальной плоскости с частотой вращения ν = 4 об/с. Найти кинетическую энергию шара E_K.

Решение. Кинетическая энергия шара, который катится по горизонтальной плоскости без скольжения, складывается из энергии поступательного и вращательного движения:

, (1)

где m – масса шара, υ – линейная скорость (скорость поступательного движения), J – момент инерции шара относительно оси вращения, проходящей через центр масс, ω – угловая скорость (скорость вращательного движения).

Известно, что для шара радиусом R

. (2)

Угловая скорость ω связана с линейной скоростью υ соотношением

, (3)

а с линейной частотой ν

. (4)

Подставим (2), (3) и (4) в (5) и сделаем необходимые преобразования:

. (5)

Подставим в (5) числовые данные:

.

Ответ: кинетическая энергия шара Е_К = 0,1 Дж.

Пример 3. Шар массой m₁ = 2 кг, движущийся горизонтально со скоростью υ₁ = 4 м/с, столкнулся с неподвижным шаром массой m₂ = 3 кг. Считая удар центральным и абсолютно неупругим, найти количество теплоты Q, выделившееся при ударе.

Решение. Запишем закон сохранения импульса:

. (1)

Здесь υ₁ и υ₂ – скорости первого и второго шаров до удара соответственно, u₁ и u₂ – скорости первого и второго шаров после удара соответственно. После неупругого столкновения тела движутся с одинаковой скоростью, поэтому u₁ = u₂ = u. Запишем проекцию уравнения (1) на направление движения шаров с учетом того, что υ₂ = 0 м/с:

. (2)

При неупругом ударе закон сохранения энергии не выполняется. Разность между энергией системы до удара (Е_К1) и энергией после удара (Е_К2) равна количеству теплоты, выделившемуся при ударе:

. (3)

Кинетическая энергия системы до удара:

. (4)

Кинетическая энергия системы после удара:

. (5)

Выразим из (2) u и подставим в (5):

. (6)

С учетом (4) и (6) вычислим количество теплоты Q:

.

Ответ: количество теплоты, выделившееся при ударе, Q = 9,6 Дж.