Тяготение. Элементы теории поля

Закон всемирного тяготения:

,

где – сила взаимного притяжения двух материальных точек; m₁ и m₂ – их массы; r – расстояние между точками; G – гравитационная постоянная.

Сила тяжести:

,

где m – масса тела; – ускорение свободного падения.

Напряженность поля тяготения:

,

где – сила тяжести, действующая на материальную точку массой m, помещенную в данную точку поля.

Напряженность гравитационного поля, создаваемого планетой, массу M которой можно считать распределенной сферически симметрично:

где r – расстояние от центра планеты до интересующей нас точки поля, находящейся вне планеты.

Ускорение свободного падения (напряженность гравитационного поля) на высоте h над поверхностью планеты (Земли):

,

где R – радиус планеты (Земли); g₀ – ускорение свободного падения на поверхности планеты (Земли).

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек массами m₁ и m₂ на расстоянии r друг от друга:

Потенциал поля тяготения:

Потенциал поля, создаваемого планетой, массу M которой можно считать распределенной сферически симметрично:

,

где r – расстояние от центра планеты до интересующей нас точки поля, находящейся вне планеты.

Потенциальная энергия тела массой m, находящегося на расстоянии h ( ) от поверхности планеты (Земли):

E_П = mgh.

Последнее соотношение справедливо если g практически не изменяется на расстоянии h.

Первая и вторая космические скорости:

,

,

где R – радиус планеты (Земли).

Законы Кеплера:

1. Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которого находится Солнце.

2. Радиус-вектор планеты за равные отрезки времени описывает одинаковые площади.

3. Квадраты периодов обращения любых двух планет относятся как кубы больших полуосей их орбит:

.

Основной закон динамики для неинерциальных систем отсчета:

Здесь – ускорение тела в неинерциальной системе отсчета, – ускорение тела в инерциальной системе отсчета, F_IN – сила инерции.

Сила инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета:

где а₀ – ускорение системы отсчета.

Сила инерции, действующая на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета (центробежная сила инерции):

где ω – угловая скорость вращения системы отсчета; R – расстояние от тела до оси вращения.

Сила инерции, действующая на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета (сила Кориолиса):

где – скорость тела, направленная вдоль радиуса вращения; – угловая скорость вращения системы отсчета.

В общем случае сила инерции имеет вид

Механика жидкостей и газов

Гидростатическое давление столба жидкости на глубине h:

,

где – плотность жидкости.

Закон Архимеда:

,

где – выталкивающая сила; V – объем вытесненной жидкости (газа).

Уравнение неразрывности:

Sυ = const,

где S – площадь поперечного сечения трубки тока; υ – скорость жидкости.

Уравнение Бернулли для стационарного течения идеальной несжимаемой жидкости:

где P – статическое давление жидкости для определенного сечения трубки тока; υ – скорость жидкости для этого же сечения; ρυ² / 2 – динамическое давление жидкости для этого же сечения, h – высота, на которой расположено сечение, – гидростатическое давление.

Для трубки тока, расположенной горизонтально:

Формула Торичелли, позволяющая определить скорость истечения жидкости из малого отверстия в открытом широком сосуде:

где h – глубина, на которой находится отверстие относительно уровня жидкости в сосуде.

Сила внутреннего трения между слоями текущей жидкости:

где – динамическая вязкость жидкости; – градиент скорости между слоями жидкости; S – площадь соприкасающихся слоев.

Число Рейнольдса, определяющее характер движения жидкости:

где – плотность жидкости; – средняя по сечению трубки скорость жидкости; d – характерный линейный размер, например диаметр трубки.

Формула Стокса, позволяющая определить силу сопротивления, действующую на медленно движущийся в вязкой среде шарик:

F=6πηrυ,

где r – радиус шарика; υ – его скорость.

Формула Пуазейля, позволяющая определить объем жидкости, протекающей за время t через капиллярную трубку длиной l:

,

где R – радиус трубки; – разность давлений на концах трубки.

Лобовое сопротивление:

где С_х – безразмерный коэффициент сопротивления; ρ – плотность среды; υ – скорость движения тела; S – площадь наибольшего поперечного сечения тела.

Подъемная сила:

где C_y – безразмерный коэффициент подъемной силы.

Поверхностное натяжение жидкостей:

,

где F – сила поверхностного натяжения, действующая на контур l, ограничивающий поверхность жидкости; ∆E – поверхностная энергия, связанная с площадью ∆S поверхности пленки.

Формула Лапласа, позволяющая определить избыточное давление для произвольной поверхности жидкости двоякой кривизны:

,

где R₁ и R₂ – радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных нормальных сечений поверхности жидкости; радиус кривизны положителен, если центр кривизны находится внутри жидкости (выпуклый мениск), и отрицателен, если центр кривизны находится вне жидкости (вогнутый мениск). В случае сферической поверхности

.

Высота подъема жидкости в капиллярной трубке:

,

где – краевой угол; r – радиус капилляра; – плотность жидкости; g – ускорение свободного падения.

Высота подъема жидкости между двумя близкими и параллельными плоскостями:

,

где d – расстояние между плоскостями.