3. Кинематический расчет механизмов

3.1. Аналитические методы исследования кинематики механизмов

Аналитические методы исследования кинематики механизмов позволяет определить функциональные зависимости между параметрами движения входных и выходных звеньев.

Кинематический расчет включает определение функции положения и передаточных характеристик механизма. Функцией положения называют зависимость между координатами  и соответственно входного и выходного звеньев

. (3.1)

Функция положения – математическое выражение геометрических связей в механизме, обусловливающих определенное преобразование движения. Дифференцируя выражение (3.1) получаем скорость и ускорение выходных звеньев

, (3.2)

. (3.3)

Входящие в выражения (3.2) и (3.3) производные и называются первой и второй передаточными функциями или аналогами скорости и ускорения. Они как и функция положения (3.1) выражают только структурные и геометрические связи механизма, т.е. зависят от положения входного звена. Рассмотрим функции положения отдельных механизмов и их передаточные характеристики и . Для кулачкового механизма с качающим толкателем (рис. 2.2 б) функция положения равна

, (3.4)

где - угол поворота, равный , - постоянная.

Передаточные функции равны

, (3.5)

, (3.6)

Для синусного механизма кинематические характеристики имеют вид:

 ( ) = rsin  , (3.7)

- угол поворота,

, (3.8)

. (3.9)

В случае тангенсного механизма эти характеристики имеют вид

, (3.10)

- угол поворота

, (3.11)

. (3.12)

Для кривошипно-ползунного механизма функция положения и первая передаточная характеристика имеют вид

, (3.13)

. (3.14)

Вторая передаточная функция представляет производную от для такого механизма:

. (3.15)

Для большинства рычажных и кулачковых механизмов функции положения и передаточные характеристики являются нелинейными функциями, поэтому эти механизмы используют в качестве исполнительных. Для цилиндрических зубчатых передач и фрикционных механизмов функция положения и передаточные характеристики и являются наоборот линейными функциями. Поэтому эти механизмы используются часто в промежуточных звеньях и выступают в качестве передаточных механизмов. Для фрикционных и зубчатых механизмов функция положения равна

, (3.16)

- постоянные; где - угол поворота, равный .Первая и вторая передаточная функции равны

, (3.17)

. (3.18)

Кинематический расчет таких механизмов включает определение передаточного отношения и нахождения передаточного числа .

Для фрикционных передач передаточное отношение с учетом упругого скольжения равно

, (3.19)

где и - диаметры ведущего и ведомого дисков; и - угловые скорости вращения этих дисков; - коэффициент, учитывающий скольжение и зависящий от модуля упругости материала, шероховатости поверхности, наличия смазки и условий эксплуатации. В зубчатых передачах роль диаметров фрикционных катков играют делительные диаметры и , так называемых начальных окружностей, находящихся в зацеплении зубчатых колес. Точки касания этих окружностей имеют одинаковую скорость .

Тогда передаточное отношение прямозубой цилиндрической передачи (рис. 3.1 а), состоящей из двух колес, равно:

, (3.20)

где знак минус относится к внешнему, а знак плюс – к внутреннему зацеплению; и - число зубьев второго и первого колес. Для червячной передачи передаточное отношение равно /3/ равно делению числа зубьев червячного колеса на число заходов червяка

(3.21)

Таким же образом определяется передаточное отношение для конической и винтовой зубчатых передач, где - число зубьев ведомого колеса, - число зубьев ведущего колеса. Эти зубчатые механизмы изменяют плоскость вращения колес и передаточное отношение.

Рис. 3.1. Цилиндрическая (а), коническая (б), червячная

(в) и винтовая (г) зубчатые передачи

В многоступенчатой цилиндрической зубчатой передаче с последовательным соединением зубчатых колес (рис. 3.2 а) передаточное отношение равно:

, (3.22)

где k- число пар сопряжения колес внешнего касания (зацепления); - число зубьев последнего n – го колеса; - число зубьев первого колеса. Промежуточные колеса не влияют на величину передаточного отношения и получили название передаточных. Назначение передаточных колес сводится к изменению направления вращения ведомого звена механизма, а также к уменьшению габаритов последнего при значительных межосевых расстояниях. Для механизмов со ступенчатым соединением колес (рис. 3.2 б) на каждом промежуточном валу закреплено по два колеса , а на ведущем и ведомом валах – по одному. Передаточное отношение такого механизма с учетом того, что и определяется выражением

. (3.23)

Или в общем случае n – колес:

, (3.24)

Рис. 3.2. Последовательное (а), ступенчатое (б) соединения колес и планетарных передач (в)

где k – число пар сопряженных колес внешнего касания (зацепления); - число зубьев соответствующих колес. Рассмотренное соединение колес позволяет реализовать большое передаточное отношение. При определении передаточного отношения планетарной передачи (рис. 3.2 в) применим метод обращения движения (метод Виллиса), сообщим всей системе вращение с угловой скоростью минус ώ_н (ώ_н – угловая скорость водила Н). Тогда водило оказывается неподвижным, а передача превращается в соосный зубчатый механизм с неподвижными осями или обращенный механизм. Угловые скорости и исходного механизма: колесо 1 имеет угловую скорость ₁, водило - _н, колесо 3 ₃ = 0. Обращенный механизм имеет угловые скорости: колесо1 - ₁ ^(н) = ₁ - _н , колесо 3 - ₃ ^(н) = - _н, водило _н = 0. Причем верхний индекс в скобках указывает неподвижное звено. Передаточное отношение обращенного механизма от звена 1 к звену 3 равно

(3.24)

Следовательно, искомое передаточное отношение от центрального колеса 1 к водилу Н определяется формулой

. (3.25)

Передаточное отношение в обратном направлении равно

. (3.26)

При расчете передаточного отношения - обращенного механизма с неподвижными в пространстве осями нужно учитывать знак передаточного отношения. Так как в рассматриваемой передаче одно зацепление внешнее, а другое внутреннее, то в соответствии с формулой (3.20) имеем

Следовательно, передаточное отношение планетарной передачи равно

. (3.27)

Общее передаточное отношение механизма, изображенного на (рис. 3.2 в) с учетом формулы (3.27) принимает вид

(3.28)

Таким образом, при последовательно соединенных механизмах передаточное отношение от ведущего звена к ведомому равно произведению передаточных отношений отдельных зубчатых передач. Следует отметить, что и при последовательном соединении нескольких планетарных передач, изображенных на рис 3.2 в, общее передаточное отношение равно произведению передаточных отношений отдельных планетарных механизмов.

2. Векторный метод планов

Для ряда механизмов кинематический анализ выполняют

методом планов скоростей и ускорений. План скоростей (или ускорений) – это векторная картина скоростей (ускорений) характерных точек механизма для данного его положения. Метод планов основан на следующих основных теоремах.

Теорема 1. При плоском движении твердого тела его мгновенное абсолютное перемещение можно представить как сумму переносного поступательного перемещения (рис. 3.3) вместе с точкой А этого тела и относительного вращения вокруг оси, проходящей через ту же точку А.

Так можно рассматривать перемещение тела на плоскости из положения А₀В₀ через промежуточное положение АВ в положение А₁В₁.

Теорема 2. Абсолютная скорость v_A движущейся точки в каждый момент времени равна векторной сумме переносной v_e и относительной скоростей v_r.

= + . (3.29)

Теорема 3. Абсолютное ускорение в сложном движении равно геометрической сумме переносного , относительного и кориолисова ускорений

= + + , (3.30)

= 2 [ ], (3.31)

где - угловая скорость переносного движения, -относительная линейная скорость, произведение и - векторное. Тогда объединяя положения теорем 1 и 2 для абсолютной скорости любой точки В можно записать следующее векторное равенство

= + , (3.32)

где - скорость любой точки А рассматриваемого твердого тела, -относительная скорость точки В в ее мгновенном вращении вокруг точки А, линия действия этой скорости перпендикулярна радиусу ВА.

Рис. 3.3. Представление перемещения тела

Если переносное движение – поступательное ( =0), то ускорение Кориолиса равно нулю =0. Относительное движение по теореме 1 – вращение точки В вокруг точки А. Поэтому относительное ускорение , в свою очередь, состоит из двух ускорений: нормального , направленного вдоль линии ВА к центру вращения и касательного , направленного перпендикулярно ВА ( на рис. 3.3 = ). Тогда выражение (3.30) принимает вид

= + + + , (3.33)

а для поступательного движения последнее слагаемое равно нулю. Рассмотрим векторный метод планов для кулачкового механизма (рис. 3.4). Вектор скорости точки А2, принадлежащий звену 2 – толкателю определяют из векторного уравнения (3.32) записав его в виде

= +

где = - вектор точки А , принадлежащий звену 1- кулачку, перпендикулярен радиусу вектору , - вектор относительной скорости , параллелен касательной , проведенной к профилю кулачка в точке касания его с толкателем, -угловая скорость кулачка.

Рис. 3.4. Метод планов для кулачкового механизма

Из полюса плана скоростей проводим в масштабе вектор скорости . Из конца этого вектора проводим линию действия относительной скорости, а из полюса - линию действия абсолютной скорости толкателя, параллельной направлению движения толкателя. Пересечение этих линий определяет искомый вектор . План ускорений строится аналогично. Точка А принадлежит как звену 1 (А₁) так и звену 2 (А₂) Ускорение точки А, принадлежащей звену 1, определяется из формулы 3.32, которая для данного варианта перепишется в виде

= + + + ,

ускорения, входящие в уравнение вычисляются по формулам

,

,

,

где радиус кривизны кулачка в точке А. Следовательно отрезки плана ускорений будут

,

,

.

Направление кориолисова ускорения находим поворотом вектора на 90⁰ в сторону вращения. На плане ускорений от полюса откладываем вектор . Далее из точки а проводим отрезок ab, соответствующий вектору поворотного ускорения , а из точки b проводим отрезок bс , соответствующий ускорению . Последний отрезок совпадает с направлением поворотного (кориолисова) ускорения и направлен из точки b к точке с. Из точки с проводим линию в направлении вектора до ее пересечения с линией в направлении абсолютного ускорения точки А, принадлежащей толкателю. Отрезок равен p₂d = .

Контрольные вопросы

1. Что понимают под кинематическими характеристиками

механизмов?

2. Какой метод используется для определения передаточного отношения планетарных передач и в чем его сущность?

3. От чего зависят функция положения, первая и вторая передаточная характеристики кривошипно-ползунного механизма?

4. Что такое передаточное отношение зубчатых механизмов?

5. Каким образом определяется передаточное отношение для последовательно соединенных зубчатых передач?

6. Чему равно передаточное отношение для ступенчатого соединения зубчатых колес?

7. Как определяется передаточное число зубчатых механизмов, состоящих из двух колес?

8. От чего зависят первая и вторая передаточная функции кулачкового механизма?

9. Каким образом находится передаточное отношение для фрикционных передач?

10. Чему равно передаточное отношение червячной, винтовой и конической зубчатых передач?

11. Как определяется передаточное отношение для обращенного планетарного механизма?

12. Чему равны кинематические характеристики синусного механизма?

13. В чем различие кинематических характеристик передаточных и исполнительных механизмов РЭС?

14. Чему равны кинематические характеристики тангенсного механизма?

15. Как определяется передаточное отношение планетарной передачи?

16. Объясните планы построения скоростей и ускорений

для кулачкового механизма.

17. На каких теоремах основан метод планов?