7.3. Закон Гука для двухосного напряженного состояния

Закон Гука справедлив и в общем случае, когда на тело действует система сил. Для двухосного напряженного состояния обобщенный закон Гука может быть выражен следующим образом. Пусть элемент тела подвергается растяжению в двух взаимно перпендикулярных направлениях. На площадках элемента возникают нормальные напряжения ₁ и ₂. Если эти напряжения имеют экстремальные значения, т.е. ₁ =_max, а ₂ =_min (_1₂), то такие площадки называются главными. На главных площадках касательные напряжения  равны нулю. Относительные деформации элемента ₁ и ₂ по направлениям главных осей определяют для двухосного напряженного состояния с помощью закона Гука, учитывая эффект поперечной деформации с помощью коэффициента Пуассона 

, (7.8)

, (7.9)

где _1,1 и _1,2 – относительные деформации элемента пот направлению 1-1, вызываемые действием напряжений ₁ и ₂; _2,2 и _2,1 – то же по направлению 2-2. Если известны деформации ₁ и ₂ , то главные напряжения определяются из уравнений

, (7.10)

. (7.11)

Эти зависимости принято называть обобщенным законом Гука при плоском напряженном состоянии.

7.4. Определение твердости

Твердостью называется свойство материала оказывать сопротивление механическому проникновению в его поверхностные слои некоторого стандартного достаточно жесткого тела. Твердость определяется наиболее распространенными методами Бринелля и Роквелла. Метод Бринелля заключается во вдавливании закаленного шарика в поверхность испытуемого образца (рис. 7.2).

Рис. 7.2. Двухосное напряженное состояние (а)

и определение твердости (б)

Отношение силы F, под действием которой вдавливается шарик, к площади лунки A, сделанной шариком и составляет число твердости по Бринеллю (МПа)

, (7.12)

. (7.13)

При испытании по методу Роквелла в поверхность образца вдавливается острый алмазный конус (шкала С) или стальной шарик (шкала B). С учетом значений силы F и глубины проникновения конуса по шкале прибора определяют число твердости HRC по Роквеллу. Между числами твердости и временным сопротивлением материала существует зависимость, которая для углеродистой стали имеет вид HB= 0,35-0,4 _b.

5. Расчеты на прочность и жесткость

Зависимость (7.5) используют для расчета механических систем на прочность и жесткость. Условие прочности детали в расчетном сечении

, (7.14)

где - расчетное напряжение, F- растягивающая сила, A- площадь поперечного сечения детали, [] = допускаемое напряжение при деформации растяжения или сжатия. Допускаемым напряжением [] называется такое наибольшее напряжение, при котором обеспечивается надежность детали, а течении заданного срока службы. Ориентировочно [] может быть найдено в соответствии со следующим выражением

, (7.15)

где опасное напряжение, в качестве которого для пластичных материалов принимается предел текучести, а для хрупких материалов- предел прочности, n – коэффициент запаса прочности, равный n=1,5-5 в зависимости от конкретных условий.