10.2. Пространственный изгиб

Пусть на прямоугольную балку шириной b и высотой h действует сила F , составляющая угол с осью симметрии сечения (рис. 10.2). Для определения наибольших напряжений в опасном сечении разложим силу F на две составляющие F_z и F_y по направлению главных осей инерции сечения. Если принять тот факт, что отношение изгибающих моментов, создаваемых силами F_z и F_y , сохраняется постоянным во всех поперечных сечениях балки, то правомерно данный косой изгиб заменить суммой двух плоских поперечных изгибов во взаимно перпендикулярных плоскостях.

Тогда эпюры напряжений в опасном сечении ABCD балки могут быть построены на основании правил для плоского поперечного изгиба.

Максимальные напряжения в точках опасного сечения имеют вид

(10.17)

в вертикальной плоскости xz и

. (10.18)

в горизонтальной плоскости xy. В этих выражениях M_B и M_Г – изгибающие моменты в вертикальной и горизонтальной плоскостях, w_y и w_z –осевые моменты сопротивления сечения.

Рис. 10.2. Косой изгиб балки (а) и эпюры напряжений (б)

Поскольку растягивающим напряжениям приписывают знак плюс, сжимающим знак – минус , то точки B и D опасного сечения балки наиболее напряженные. Возникающие в них нормальные напряжения и на основании принципа независимости действия сил суммируются. Поэтому для косого изгиба условие прочности в опасном сечении принимает вид

. (10.19)

Если силы действуют в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, то такой изгиб принято называть пространственным.

Рассмотрим изгиб вала, когда вертикальная F_z и горизонтальная F_y силы приложены в разных поперечных сечениях и не могут быть приведены к одной плоскости.

Для нахождения опасного сечения вала и его расчета на прочность, необходимо отдельно построить эпюры изгибающих моментов отдельно в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Наибольшее напряжение в опасном сечении балки равно

, (10.20)

где - расчетный изгибающий момент, и - изгибающие моменты в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Для вала постоянного диаметра опасно то сечение, в котором действует наибольший момент .

10.3. Совместное действие изгиба и растяжения (сжатия)

Рассмотрим консольную балку прямоугольного сечения, которая подвергается осевому растяжению силой F_x и плоскому поперечному изгибу от силы F_z (рис. 10.3).

Для определения опасного сечения балки построим эпюры изгибающих моментов M_и и внутренней продольной силы R_x. Наиболее опасным сечением балки является сечение ABCD. Задача решается с использованием принципа независимости действия сил, т.е. отдельно рассматривается изгиб и отдельно растяжение. Напряжение за счет действия изгиба равно

,

где h,b,l – размеры поперечного сечения и длины балки.

Напряжения растяжения балки определяются в соответствии с выражением

.

Максимальные напряжения возникают в точках A и D поверхностного слоя опасного сечения, а условие прочности принимает вид

. (10.21)

Так как при любом знаке изгибающего момента в сечениях балки возникают и растягивающие и сжимающие напряжения, то в формулу (10.21) подставляют абсолютное значение.

Рис. 10.3. Осевое растяжение и плоский поперечный изгиб

Не менее важное значение имеет деформация балки, возникающая при внецентренном сжатии или растяжении. Такая деформация характерна для деталей червячных и конических зубчатых передач.

На рис. 10.4 показана схема червячной передачи состоящей изчервяка1-вала с винтовой нарезкой и червячного колеса 2. В их зацеплении возникают силы, одна из которых –окружная сила колеса F_x – приложена на расстоянии l=d/2 от продольной оси вала червяка и направлена параллельно этой оси, а d - диаметр червяка.

Таким образом, сила F_x вызывает внецентренное сжатие вала червяка.

Силу F_x приведем к оси вала, приложив в его центре две силы, которые равные по модулю F_x и направлены противоположно. Эти силы образуют пару сил- изгибающий момент .

Тогда внецентренное сжатие заменяется двумя простыми деформациями: изгибом под действием момента и осевым сжатием силой .

Рис. 10.4. Совместное действие изгиба и внецентренного сжатия

Из эпюр следует, что опасным является сечение AB в зоне зацепления червяка колесом. На основании принципа независимости действия сил условие прочности вала червяка примет вид

(10.22)

Отметим, что кроме изгиба и сжатия вал может подвергаться кручению, которое рассмотрим ниже