- •А.И. Андреев и.В. Андреев
- •Воронеж 2015
- •1. Структура механизмов
- •2. Основные виды механизмов
- •3. Кинематический расчет механизмов
- •3.1. Аналитические методы исследования кинематики механизмов
- •4. Динамика механизмов
- •4.1. Силы, действующие на звенья
- •4.2. Определение крутящего момента на ведомом валу
- •4.3. Приведение масс в механизмах
- •4.4. Приведение сил и моментов сил в механизмах
- •5. Уравнения движения механизма
- •5.1. Уравнение движения механизма в интегральной форме, три стадии движения механизма
- •5.2. Механические характеристики электродвигателей
- •5.3. Уравнение движения механизма в дифференциальной
- •5.4. Трение в кинематических парах
- •5.5. Коэффициент полезного действия механизмов
- •6. Деформации и напряжения деталей
- •6.1. Деформация деталей, виды деформаций
- •6.2. Напряжения и метод сечений
- •7. Осевое растяжение и сжатие. Сдвиг
- •7.1. Напряжения и деформации при растяжении
- •7.2. Закон Гука и параметры кривой растяжения образца
- •7.3. Закон Гука для двухосного напряженного состояния
- •7.4. Определение твердости
- •Расчеты на прочность и жесткость
- •Деформации и напряжения при сдвиге
- •7.7. Закон Гука при сдвиге
- •8. Кручение и изгиб
- •8.1 Деформации и напряжения при кручении
- •8.2. Изгиб. Виды изгиба и их особенности. Типы опор и опорные реакции
- •8.3. Чистый изгиб балки
- •9. Характеристики плоских сечений и поперечный изгиб
- •9.1. Геометрические характеристики плоских сечений
- •Плоский поперечный изгиб. Изгибающий
- •Правила построения эпюр изгибающих моментов
- •Напряжения при поперечном изгибе. Расчеты
- •9.5. Прогиб балок. Расчеты на прочность
- •10. Прочность при сложных деформациях
- •10.1. Сложные деформации. Теории прочности
- •10.2. Пространственный изгиб
- •10.3. Совместное действие изгиба и растяжения (сжатия)
- •10.4. Совместное действие изгиба и кручения
- •11. Продольный изгиб. Прочность при переменных напряжениях
- •11.1. Устойчивость сжатых стержней. Формула Эйлера
- •11.2. Проверка сжатых стержней на устойчивость
- •11.3. Переменные напряжения. Выбор допускаемых напряжений
- •Концентрация напряжений и ее влияние
- •11.5. Определение допускаемых напряжений
- •12.4. Геометрические характеристики механизма
- •13. Силовой расчет механизмов
- •14. Расчет механизмов на прочность
- •14.1. Прочностные расчеты фрикционных передач
- •14.2. Износостойкость механизма винт–гайка
- •14.3. Расчет на прочность цилиндрических зубчатых передач
- •14.4. Расчет на прочность червячных передач
- •15. Определение прочности валов и осей механизмов
- •16. Основы конструирования механизмов и отдельных деталей передач
- •Проектирование червяков и червячных колёс
- •Конструирование деталей фрикционных передач
- •Конструкции валов и осей
- •Точность изготовления деталей
- •Размеры. Квалитеты. Система отверстия
- •Точность геометрической формы деталей
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •11. Продольный изгиб. Прочность при переменных
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
9. Характеристики плоских сечений и поперечный изгиб
9.1. Геометрические характеристики плоских сечений
В теории изгиба и кручения используются следующие характеристики поперечных сечений деформируемых тел:
осевые моменты инерции плоских фигур, представляющие собой интегральную сумму произведений элементарных площадей dA на квадрат расстояния их до соответствующих осей
, , (9.1)
полярный момент инерции плоского сечения, равный
, (9.2)
а - расстояние площадки до начала координат и учитывая, что имеем
, (9.3)
центробежный момент инерции сечения , представляющий интеграл вида
, (9.4)
осевые и полярные моменты сопротивления сечений
, , , (9.5)
где , , - наибольшие расстояния точек сечений до осей Y, Z и начала координат. Оси Y и Z плоской фигуры можно расположить так, что центробежный момент инерции относительно этих осей равен нулю. Такие оси координат называются главными осями инерции сечения. Моменты инерции сечения и относительно главных осей имеют экстремальные значения, один из них максимален , а другой минимален . Часто начало главных осей инерции совпадает с центром тяжести. Такие оси называют главными центральными осями инерции сечения. Если плоская фигура имеет оси симметрии, то главные центральные оси инерции совпадают с ними. Рассмотрим моменты инерции для прямоугольного сечения (рис. 9.1 а).
Пусть в прямоугольном сечении высотой h и шириной b оси Y и Z – главные центральные оси инерции. Выделим элемент площади сечения на расстоянии z от оси y и найдем момент инерции сечения относительно оси y на основании формулы
. (9.6)
Аналогично можно найти
. (9.7)
Единица измерения момента инерции в системе СИ- . Моменты сопротивлений прямоугольного сечения балки вычисляют по формулам
, (9.8)
. (9.9)
При этом моменты инерции прямоугольного сечения, вычисленные относительно оснований, будут равны
, . (9.10)
Определим моменты инерции для круглого сечения (рис. 9.1 б). Выделим в сечении круга радиуса r элементарное кольцо радиусом , шириной и площадью . Полярный момент инерции этого сечения может быть определен по формуле
. (9.11)
Осевые моменты инерции круглого сечения равны между собой, поэтому получим
. (9.12)
Рис. 9.1. Прямоугольное и круглое сечения балки
Осевые моменты сопротивлений будут равны
. (9.13)
Часто выражают через диаметр сечения
.
Полярный момент сопротивления сечения, используемый в расчетах при деформации кручения равен
.
Для сложного сечения, которое часто можно рассматривать составленное из нескольких простых сечений, при определении используют зависимости между моментами инерции относительно параллельных осей. Рассмотрим двутавровую балку (рис. 9.2 б), у которой относительно главных центральных осей y и z известны моменты инерции Jy и Jz и сечение имеет площадь A. Требуется определить моменты инерции этой фигуры относительно новых осей y1 и z1, которые параллельны главным центральным и расположены на расстояниях a и b от них ( рис. 9.2 а).
Рис. 9.2. Определение момента инерции сложного сечения
Используя формулы (9.1) имеем
Второй интеграл представляет статический момент сечения относительно оси y, проходящей через его центр тяжести и равен нулю, т.е.
.
Тогда получаем
. (9.14)
Аналогично находим
. (9.15)
Эти выражения получили название теоремы Штейнера.