11. Продольный изгиб. Прочность при переменных напряжениях

11.1. Устойчивость сжатых стержней. Формула Эйлера

Деформируемые тела могут находиться в устойчивом и неустойчивом равновесии. Если тонкий стержень длиной l и диаметром d (l>>d) сжимать вдоль оси (рис. 11.1 а), постепенно увеличивая силу, то сначала он будет прямым под действием напряжений сжатия а, затем начнет резко изгибаться (рис. 11.1 б). Напряжения в нем быстро возрастают под действием силы F и возникает возможность разрушения.

, (11.1)

где A- площадь сечения.

Это явление называют потерей устойчивости.

Наименьшее значение осевой силы, при котором для определенным образом закрепленного стержня равновероятны прямолинейная и криволинейная формы, называют критическим. Если такой же стержень растягивать продольной силой, то он всегда будет находиться в устойчивом (единственном) положении равновесия. Для выяснения условий, при которых становятся возможные различные состояния равновесия, рассмотрим задачу Эйлера о сжатии стержня. Допустим, что стержень находится в состоянии равновесия, сохраняя слегка изогнутую форму, под действием некоторой силы . При малых прогибах стержня в соответствии с дифференциальным уравнением изогнутой оси стержня будем иметь

, (11.2)

откуда следует

, (11.3)

где

. (11.4)

решение дифференциального уравнения (11.3) можно представить в форме

. (11.5)

Произвольные постоянные A и B определяются из условий закрепления стержня: при x=0 прогиб y(0)=0 и при x=l прогиб равен y(l)=0.

Рис. 11.1. Продольный изгиб стержня

Из первого условия следует B=0, а из второго условия будем иметь

.

Это уравнение имеет два возможных решения: A=0, sinkl=0 или

,

где n- произвольное число. При любом целочисленном значении n прогиб стержня равен

и упругая линия изображается кривой, содержащей n- полуволн. Таким образом, при одной и той же внешней силе и условиях закрепления стержень имеет несколько состояний равновесия, которые называют устойчивыми.

Следует отметить, что множественность положений равновесия упругой системы может быть обнаружена лишь в том случае , когда уравнения равновесия составляются для деформированной, отклоненной от своего исходного (ненагруженного) положения системы. Ранее уравнения равновесия составлялись для недеформированных стержней в

предположении о неизменности начальных размеров. С учетом выражения (11.4) усилие, сжимающее стержень равно

. (11.6)

Это соотношение определяет условия, при которых возможно равновесие стержня с изогнутой осью. Критической будет сила, соответствующая n=1 (наименьшая сила)

. (11.7)

Зависимость (11.7) называют формулой Эйлера.

Значение критической силы (рис. 11.1 в) зависит от характера

нагрузки, условий закрепления и формы сечения (момента инерции стержня). Для стержня можно рассмотреть и другие случаи закрепления (рис.11.2).

Рис. 11.2. Разные способы закрепления длинного стержня

Так стержень жестко закрепленный на одном конце и свободный на другом, нагруженном конце будет иметь такую же критическую силу, как и двухопорный стержень, длиной 2l. В общем случае формулу Эйлера можно представить в виде

, (11.8)

где - коэффициент приведения длины.

На рис. 11.2 этот коэффициент равен значениям =0.5, =1 и =2. Критической нагрузке соответствует напряжение сжатия

, (11.9)

где - коэффициент, характеризующий, приведенную гибкость стержня

, (11.10)

здесь величина - радиус инерции сечения, осевой момент инерции поперечного сечения стержня. Для тонких и длинных стержней критическое напряжение может

оказаться значительно меньше допускаемого значения при сжатии [ ].

Так для стального стержня круглого сечения диаметром d=0.4 мм и длиной l=200 мм при E=2 10⁵ МПа и = 150 МПа радиус инерции сечения равен =1 мм, а гибкость стержня =200 и значение критического напряжения по формуле (11.9) равно =49,3 МПа.

Получаем меньше , т.е. стержень в этом случае разрушится от потери устойчивости.