10. Прочность при сложных деформациях
10.1. Сложные деформации. Теории прочности
Основами расчетов деталей на прочность при сложном напряженном состоянии принцип независимости действия сил. который определяет, что общий результат от действия на деталь нескольких сил равен сумме частных результатов от каждой силы в отдельности и теории прочности. Рассмотрим элемент детали при объемном напряженном состоянии, когда он подвергается растяжению или сжатию в трех взаимно перпендикулярных направлениях (рис. 10.1).
Рис. 10.1. Напряжения при объемном напряженном
состоянии
Через каждую точку элемента можно
провести такие ортогональные площадки,
на которых касательные напряжения равны
нулю. Такие площадки называют главными,
а действующие на них нормальные напряжения
– главными напряжениями. Обозначим их
соответственно
,
,
и будем считать
.
Главные напряжения экстремальны для
данного элемента
имеет
наибольшее значение (
=
),
а
-наименьшее
(
=
).
Наибольшие касательные напряжения
возникают на площадках, делящих двугранный
угол между главными площадками с
напряжениями
и
пополам.
.
(10.1)
Относительная деформация элемента может быть найдена на основании обобщенного закона Гука
,
(10.2)
,
(10.3)
.
(10.4)
Если известны деформации, то главные напряжения равны
,
(10.5)
,
(10.6)
,
(10.7)
При упругой деформации элемента происходит изменение его размеров и формы, в результате чего механическая энергия, затраченная на деформацию, переходит в потенциальную. Потенциальная энергия деформации численно равна работе внутренних сил материала, которые оказывают сопротивление перемещению. Тогда при одноосном растяжении, когда = =0, имеем следующее выражение для потенциальной энергии
(10.8)
где
- равнодействующая внутренних
сил,
-
абсолютная деформация элемента.
Потенциальная энергия деформации
элемента, отнесенная к единице его
объема равна
. (10.9)
V- объем элемента,
-
относительная деформация элемента. При
объемном напряженном состоянии значение
удельной потенциальной энергии равно
).
(10.10)
Это напряженное состояние элемента может быть использовано для объяснения различных теорий прочности. Первая теория -это теория наибольших нормальных напряжений, согласно которой при сложном напряженном состоянии элемента наибольшее нормальное напряжение не превышает допускаемого для данного материала при простом растяжении. Условие прочности по этой теории
.
(10.11)
Эта теория может быть использована для хрупких материалов.
Вторая теория – это теория наибольших
деформаций, когда при сложном напряженном
состоянии материал детали утрачивает
свойства прочности тогда, когда наибольшая
относительная деформация не превысит
допускаемую
.
Тогда условие прочности принимает вид
,
(10.12)
которое после преобразований на основании формулы (10.2) получит вид
.
(10.13) Напряжение
учитывает влияние всех трех главных
напряжений и поэтому называется
приведенным. Вторая теория прочности
используется для нескольких хрупких
материалов.
Третья теория прочности – это теория наибольших касательных напряжений.
В качестве фактора принимается касательное напряжение, а условие прочности принимает вид
.
(10.14)
После преобразований выражение (10.14) принимает вид
.
(10.15)
Эта теория на практике подтверждается для материалов, находящихся в пластичном состоянии. Однако точность расчетов по ней не всегда достаточна.
Четвертая – это энергетическая теория прочности. Согласно этой теории два напряженных состояния считаются равноопасными, если удельная потенциальная энергия изменения формы детали при деформации одинакова. Это условие применяется при совместном действии изгиба и кручения и имеет вид
.
(10.16)
Для пластичных материалов энергетическая теория прочности наиболее полно и точно подтверждается экспериментально.