8. Кручение и изгиб
8.1 Деформации и напряжения при кручении
К деталям механических систем,
подвергающимся деформации кручения,
относятся валы различных типов и
конструкций. Валом принято называть
стержень круглого сечения, который
служит для поддержания вращающихся
частей механизма. Рассмотрим кручение
валика под действием внешнего крутящего
момента Т и представим валик,
состоящим из концентрически расположенных
слоев трубок. При действии на валик
крутящего момента Т каждый из этих
слоев поворачивается относительно
соседних слоев, поэтому отдельные
элементы подвергаются деформации
чистого сдвига. Мерой деформации кручения
принято считать либо угол поворота
концевого сечения валика относительно
другого сечения, отстоящего от первого
на расстояние l, либо
угол закручивания на единицу длины
,
который принято называть относительным
углом закручивания, при однородном вале
(рис. 8.1)
Рис. 8.1. Кручение вала (а) и касательные напряжения (б)
Проведенные исследования деформации кручения позволяют при расчете принять следующие гипотезы:
поперечные сечения вала плоские до деформации остаются в процессе деформации плоскими и перпендикулярными продольной оси вала;
радиусы сечений прямые до деформации остаются такими же после деформации, т.е. не искривляются;
расстояния между поперечными сечениями вала (dx или l) в процессе деформации не изменяются;
если деформация сдвига поперечных сечений относительно продольной оси вала протекает в пределах упругости, то используется закон Гука.
Для рассмотрения напряженного состояния
вала, подвергающегося кручению под
действием момента Т, выделим из
элемента вала длиной dx
часть, ограниченную цилиндрической
поверхностью радиуса
.
Относительный сдвиг, измеренный на этой
поверхности равен
,
(8.1)
где - относительный угол закручивания, являющийся мерой интенсивности деформации кручения. Для рассматриваемого элемента вала возникают касательные напряжения, значение которых может быть найдено из закона Гука
.
(8.2)
Интенсивность закручивания
и касательные напряжения
в сечении элемента вала зависят от
крутящего момента Т, который
уравновешивается моментом внутренних
сил взаимодействия частиц материала
вала, а уравнение равновесия элемента
принимает вид
.
(8.3)
Принимая равенство (8.1) получаем
,
(8.4)
откуда
.
(8.5)
В этих выражениях величина
представляет
полярный момент инерции сечения равный
(8.6)
Подставив значение
,
получим формулу для определения
касательных напряжений
(8.7)
Эта формула дает точное решение для
вала круглого сечения, для сечения
другой формы эта зависимость приближенна.
При деформации кручения в поперечном
сечении вала возникают касательные
напряжения
,
значения которых изменяются вдоль
радиуса сечения пропорционально
расстоянию
от центра сечения. Эпюры напряжений
приведены на рис.8.1 б . Такое распределение
напряжений имеет место на каждом из
радиусов сечения. Наибольшие касательные
напряжения
действуют в точках поперечного сечения,
расположенных у поверхностного слоя
вала, т.е. когда
,
тогда
,
(8.8)
где
- полярный момент сопротивления сечения.
Для круглого вала
,
а условие прочности
в опасном сечении при деформации кручения принимает вид
,
(8.9)
где
-
допускаемое напряжение, значение
которого может быть принято равным
=(0.5-0.6)
,
здесь
- допускаемое напряжение при растяжении.
Количественной характеристикой
деформации кручения является угол
поворота концевого сечения
или относительный угол
.
Условие достаточной жесткости вала при
действии крутящего момента T
принимает вид
,
(8.10)
- допускаемое значение относительного
угла закручивания.