2.3. Расчеты вероятностей числа дефектных изделий в выборке

Решение задач на применение статистических законов предполагает использование соответствующих статистических таблиц.

Первой таблицей, которую мы рассмотрим, будет Таблица 2.1 для биномиального закона распределения.

В ней представлены значения вероятностей того, что число “успехов” равно или превышает заданное число . Параметрами в таблице 2.1 являются:

n - размер выборки;

- вероятность “успеха”, термин, обычно используемый для обозначения меньшего из значений и .

Таким образом, в нашем случае “успех” может соответствовать отказу, в нарушение кажущегося смысла.

r - минимальное число “успехов” в выборке объема n.

Рассмотрим два взаимоисключающих события и , В сумме они образуют достоверное событие, следовательно, сумма их вероятностей равна единице.

Вероятность первого события равна

(именно эта величина представлена в таблице 2.1.).

Вероятность второго события вычисляется так,

.

Вероятность точного равенства есть

.

В частных случаях и имеем и соответственно.

Примеры

1.Если мы дважды бросаем монету, то каковы вероятности различных значений числа выпадений орла?

Мы можем перечислить возможные варианты несовместимых событий как следующие четыре комбинации, причем каждое из них является произведением независимых исходов,

ОО ОР РО РР

Каждое из этих четырех событий имеет одинаковую вероятность

.

Кумулятивные вероятности суть вероятности следующих событий:

«по крайней мере, 0 орлов» ОО + ОР + РО + РР - = 1.0;

«по крайней мере, 1 орел» ОО + ОР + РО -------- = 0.75;

«по крайней мере, 2 орла» ОО ---------------------- = 0.25.

Этот пример может быть решен с помощью биномиального закона распределения, когда вероятность “успеха” (орел) и “отказа” (решка) в каждом случае составляет 0.5. Ответы Вы можете найти в таблице 2.1. для n = 2, р = 0.50, r = 0, 1 и 2.

2.Какова вероятность получения двух бракованных изделий в выборке из 20 штук, если вероятность брака для процесса составляет 0,04 (4%)?

Мы имеем n = 20, р = 0.04, d = 2. Из таблицы 2.1. находим, что вероятности и составляют 0.1897 и 0.0439 соответственно. Итак, вероятность того, что будет точно два бракованных изделия, составляет 0.1897- 0.0439 = 0.1458.

2.4. Функция распределения и плотность вероятности случайной величины

Мы знаем, что экспериментальной характеристикой случайной величины может служить ее статистическая функция распределения.

Зная статистическую функцию распределения случайной величины можно найти частоты попадания ее значения в различные интервалы числовой оси.

Совершенно аналогично в качестве теоретической характеристики случайной величины не связанной с проведением каких-либо опытов, можно принять вероятность выполнения неравенства рассматриваемую как функцию переменной x

Эта функция называется функцией распределения случайной величины X.

Возможные значения случайной величины могут образовывать дискретное множество, а именно множество всех целых чисел от 0 до или непрерывное множество. Случайная величина, множество возможных значений которой дискретно, называется прерывной или дискретной.

Функция распределения прерывной случайной величины полностью определяется ее возможными значениями и вероятностями этих значений.

Действительно, если — прерывная случайная величина, возможные значения которой, пронумерованные в порядке возрастания, равны и вероятности этих значений равны соответственно р₁ ..., р_п:

то функция распределения случайной величины X определяется формулой

_,

где неравенство под знаком суммы показывает, что суммирование производится по всем значениям индекса для которых выполняется это неравенство.

Иными словами, при любом значении функция распределения равна сумме вероятностей всех значений случайной величины меньших Очевидно, что если возрастая, становится равным то число значений меньших остается неизменным, т. е. функция распределения имеет в точке то же значение, что и при любом, в интервале ₊₁.

Если же становится больше то функция распределения увеличивается скачком на величину

Следовательно, значение функции распределения в точке разрыва равно ее значению слева от этой точки, т. е. функция распределения непрерывна слева.

Изучим теперь общие свойства функции распределения любой случайной величины. Как и всякая вероятность, функция распределения не может быть отрицательной и не может быть больше единицы:

Далее, при любых для выполнения неравенства необходимо и достаточно, чтобы было или

Так как события и несовместны, то, согласно принципу сложения вероятностей,

Отсюда на основании определения функции распределения следует равенство

Таким образом, вероятность попадания значения случайной величины на отрезок числовой оси или в его левый конец равна приращению функции распределения на этом отрезке.

Так как вероятность не может быть отрицательной, то при любых величина не может быть больше Иными словами, функция распределения является неубывающей функцией.

Если функция распределения случайной величины X непрерывна при всех значениях то вероятность любого ее возможного значения равна нулю.

На первый взгляд этот вывод противоречив: в результате опыта случайная величина обязательно принимает какое-то значение, и в то же время вероятность того, что она примет любое наперед заданное значение, равна нулю. В действительности здесь нет никакого противоречия.. В данном случае, если является возможным значением случайной величины и ее функция распределения непрерывна на всей числовой оси, равенство является возможным событием, имеющим вероятность, равную нулю.

Это означает только, что при очень большом числе опытов случайная величина будет принимать данное значение крайне редко, так что частота этого значения будет иметь тенденцию приближаться к нулю. Так как вероятность равенства в случае непрерывной функции распределения равна нулю, то предыдущая формула в этом случае может быть переписана в виде

На основании изученных свойств функции распределения можно себе представить общий характер изображающей ее кривой.

Примерный вид такой кривой представлен на рис. 2.1.

Рис. 2.1.

Вследствие того, что при непрерывной функции распределения вероятность каждого отдельно взятого значения случайной величины равна нулю, случайная величина не может быть в этом случае охарактеризована вероятностями своих значений.

Поэтому возникает вопрос: как определить, является ли данное число возможным значением случайной величины, и можно ли определить, какие ее значения более вероятны и какие менее вероятны?

Ответить на этот вопрос можно, заменив точки числовой оси соответствующими малыми интервалами. Пусть — бесконечно малый интервал. Тогда вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное между и , может служить практической мерой возможности данного значения

При этом удобно разделить эту вероятность на .

Таким образом, мы приходим к понятию плотности вероятности.

Плотностью вероятности случайной величины называется предел отношения вероятности неравенства к величине при

Если плотность вероятности случайной величины в точке отлична от нуля, то является возможным значением случайной величины

Если плотность вероятности в точке больше, чем в точке то можно сказать, что значение случайной величины более вероятно, чем значение

Используя ранее полученные формулы, получим

Таким образом, плотность вероятности случайной величины равна производной от ее функции распределения.

Из ранее полученных формул следует первое основное свойство плотности вероятности:

плотность вероятности случайной величины является неотрицательной функцией:

Интегрируя и принимая во внимание, что непрерывная случайная величина может изменятся в пределах от до , получим выражение функции распределения случайной величины через ее плотность вероятности:

Полагая здесь и принимая во внимание, что при произойдут все возможные события, т.е. функция вероятности равна единице, получим второе основное свойство плотности вероятности

Из ранее полученных формул следует, что вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное между равна интегралу от ее плотности вероятности, взятому в пределах от

Геометрический смысл этой формулы очевиден. Вероятность попадания значения случайной величины на данный отрезок равна площади фигуры, ограниченной сверху кривой, изображающей плотность вероятности, снизу осью абсцисс, а с боков прямыми (рис. 2.2.). При этом вся площадь, ограниченная кривой, изображающей плотность вероятности, и осью абсцисс, равна единице.

Величина представляет собой с точностью до бесконечно малых высшего порядка вероятность того, что случайная величина примет свое значение в интервале

Эта величина обычно называется элементом вероятности.

Функция распределения случайной величины, или ее плотность вероятности, или совокупность возможных значений прерывной случайной величины и их вероятностей являются различными формами выражения закона распределения случайной величины.

Рис. 2.2.

Закон распределения, или распределение вероятностей случайной величины является полной характеристикой случайной величины, определяющей ее возможные значения и позволяющей сравнивать вероятности различных возможных значений.

При описании непрерывного распределения часто используют еще так называемые квантили.

Квантилем, отвечающим заданному уровню вероятности называют такое значение _, при

котором функция распределения принимает значение, равное т. е.

Некоторые квантили получили особые названия.

Так, например, медианой распределения М_еХ называют квантиль, отвечающий значению ; квантили, соответствующие значениям и , называют нижним и верхним квартилями.

Если положить и т. д., то получим соответственно и квантили.

Эти квантили иногда называют еще соответственно

, и т. д. «верхними» точками распределения. Аналогично квантили, отвечающие значениям и т. д., называют , и т. д. «нижними» точками распределения.

Зная значения достаточного числа квантилей, мы можем легко представить себе ход возрастания функции распределения.

Медиана используется иногда в качестве характеристики центра распределения.

Медиана эмпирического распределения представляет «срединное» значение данного распределения.

Так, например, в «пробе» из пяти деталей с размерами, равными 10,12; 10,01; 9,98; 10,07 и 10,03, медианой будет третье по порядку возрастания значение, т. е. т_еХ*=х₃ = 10,03 мм.

Модой непрерывного распределения называется значение, при котором достигает максимума; если максимумов два, то распределение называется двумодальным, если три — то трехмодальным, и т. д.