- •Введение
- •1. Сведения из теории вероятностей
- •Значение статистических методов исследования
- •1.2. Экспериментальные основы теории вероятностей
- •1.3. Вероятность события. Свойства вероятности событий
- •1.4 Соединения или комбинации
- •1.4.1. Размещения и перестановки
- •1.4.2. Соединения и выборки
- •1.4.3. Сочетания
- •1.4.4. Задачи о размещении элементов по ячейкам.
- •2. Распределения вероятностей
- •2.1. Биномиальное распределение
- •2.2. Гипергеометрическое распределение
- •2.3. Расчеты вероятностей числа дефектных изделий в выборке
- •2.4. Функция распределения и плотность вероятности случайной величины
- •2.5. Распределение Пуассона.
- •2.5.1. Применение распределения Пуассона в задачах качества
- •2.6. Показательное распределение времени ожидания сбоя
- •2.6.1. Функция надежности.
- •2.6.2. Функция распределения времени ожидания сбоя.
- •2.6.3. Метод дополнительной вероятности.
- •2.6.4. Зависимость интенсивности отказов от времени. Практические случаи - кривая в форме «ванны».
- •2.6.5. Среднее время между отказами
- •2.7. Нормальный закон распределение и его приложения в задачах качества
- •2.7.1. Нормальная плотность вероятности и ее параметры.
- •2.7.2. Функция Лапласа и расчеты вероятностей при нормальном распределении
- •Значение функции
- •2.7.3. Возможность (осуществимость) процесса.
- •2.7.4. Статистическое управление качеством (процессами).
- •3. Статистическая выборка [7]
- •3.1. Выборочный контроль и оперативная характеристика.
- •3.2. Планы выборочного контроля
- •Планы типа однократной выборки
- •Планы типа двукратной (многократной) выборки
- •Планы типа последовательного анализа
- •3.3. Оперативная характеристика
- •3.4. Методы выборочного контроля
- •3.5. Программы выборки на основе риска производителя
- •3.6. Программы выборки на основе риска потребителя
- •Процент брака
- •3.7. Соотношение между различными программами выборки
- •3.8. Решение задач с использованием таблиц выборочного контроля
- •3.9. Общие требования, предъявляемые к стандартам выборочного контроля
- •4. Контрольные карты статистически управляемых процессов [7]
- •4.1. Примеры построения контрольных карт
- •4.1.1. Карта динамики процесса
- •4.1.2. Карта (диаграмма) управляемости процесса
- •4.2. Методика выбора формы контрольной карты
- •4.3. Контрольная карта числа дефектных единиц продукции .(np – карта)
- •4.4. Контрольная карта числа дефектов (с-карта)
- •4.5. Сигнальные признаки. Предельные отклонения
- •Сигнальные отклонения
- •Дополнительные признаки
- •5. Контрольные карты количественных и интегрально-суммарных признаков [7]
- •5.1. Вычисление предельных отклонений для нормального закона распределения
- •5.2. Контрольные карты для средних арифметических значений и размахов: и r
- •5.3. Диапазон как замена стандартного отклонения
- •Задание № 1 для самостоятельной работы
- •Алгоритм построения контрольных карт и r
- •Задание № 2 для самостоятельной работы
- •Сигнальные отклонения
- •5.4. Интегрально-суммарные контрольные карты
- •5.3. Интегрально-суммарная карта,
- •6. Cтатистические методы анализа динамических рядов [7]
- •6.1. Метод скользящей средней
- •6.2. Метод взвешенной скользящей средней
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
1.4 Соединения или комбинации
Часто сложный опыт состоит в том, что элементарный опыт, в результате которого может появиться или не появиться некоторое событие А, производится несколько раз, и нас интересуют вероятности различных результатов этого сложного опыта.
Решить эту задачу можно с привлечением методов комбинаторики
1.4.1. Размещения и перестановки
Различные группы, составленные из каких-либо предметов и отличающиеся одна от другой или порядком этих предметов, или самими предметами, называются соединениями или комбинациями.
Предметы, из которых составляются соединения, называются элементами.
Частными видами соединений являются размещения, перестановки и сочетания.
Размещениями из n элементов по m называются такие соединения, из которых каждое содержит m элементов, взятых из данных n элементов, и которые отличаются одно от другого или элементами, или порядком элементов (предполагается, что ).
Пусть, например, число предметов, из которых мы составляем различные соединения равно трем; обозначим эти предметы a, b и c. Из них можно составить соединения по одному:
a, b, c;
по два:
ab, ac, ba, bc, ca, cb;
по три:
abc, acb, bac, bca, cab, cba.
Из этого примера виден способ построения размещений. Число возможных размещений по 1 совпадает с общим числом элементов равных в данном случае 3.
Все размещения по 2 получаются так. К каждому из ранее составленных размещений по 1 добавляется последовательно все другие элементы, не вошедшие в данное размещение, число таких элементов в данном случае равно
3 - 1=2. Таким образом, полное число размещений из трех по 2 равно . Аналогично строятся размещения в общем случае, когда число элементов равно n.
Число всевозможных размещений из n элементов по m обозначим как .
Из описанного выше способа построения размещений ясно, что , аналогично,
и вообще,
.
При m=n все возможные размещения представляют собой все возможные перестановки исходных элементов.
Их число , то есть равно произведению все чисел от 1 до n, которое обозначается как (читается: n-факториал).
1.4.2. Соединения и выборки
Процедура построения размещений называется еще выбор без возвращений, при этом каждое из размещений называют упорядоченной выборкой объема m. В другом случае, при выборе с возвращением любой элемент, извлеченный для формирования выборки из исходной совокупности (генеральная совокупность), заменяется эквивалентным и происходит восстановление исходного состава генеральной совокупности.
Таким образом, в конкретной выборке каждый элемент может встречаться несколько раз.
Все возможные выборки с возвращением, которые можно сформировать из элементов трех типов a, b и c по 2, будут такие (сравни с предыдущим случаем):
aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc;
Для формирования всех таких соединений по 2 надо записать строку исходных элементов дважды
a, b, c…
a, b, c…
и каждый элемент первой строки последовательно объединять со всеми элементами второй строки.
Если полное число элементов есть n, то число возможных соединений по 2 равно .
Итак, если объем выборок равен m, то необходимо записать m строк и, следовательно, количество упорядоченных выборок с возвращением будет равно .
В комбинаторике стремятся к формальной аналогии в записи близких по своему смыслу величин. Поэтому число выборок без возвращений (число размещений) часто записывают, как . Последнюю величину полагают по определению равной
и называют убывающий m-факториал.
Очевидно, что при m=n справедливо следующее равенство:
Примеры.
1. Сколько двоичных кодов можно записать на 8-разрядной сетке?
Число таких кодов, например 01101001, совпадает с числом возможных выборок с возвращением объема 8 из двух элементов 0 и 1.
Следовательно, m=8 и n=2, ответом будет число равное .
2. Сколько целых трехзначных чисел можно записать, используя 10 десятичных цифр 0, 1, …,9
Из 10 элементов (цифр) можно сформировать выборок с возвращением по 3. Однако, выборки, имеющие 0 на первой позиции, соответствуют либо двузначным, либо однозначным числам, либо нулю и их надо исключить. Таких комбинаций будет столько, сколько возможно выборок с возвращением из 10 элементов по 2, то есть . Следовательно, трехзначных чисел будет .
Выбор m элементов из генеральной совокупности объема n является экспериментом, возможными исходами которого являются различные выборки объема m. Общее число их равно или , в зависимости от того, как производится выбор: с возвращением или без возвращения. Предположим, что выбор производится случайно и так, что все выборки равновероятны.
Какова вероятность, что случайно извлеченная выборка с возвращением не имеет одинаковых элементов, то есть эта выборка является размещением и могла бы быть получена при выборе без возвращения?
Воспользуемся формулой благоприятных исходов.
При случайной выборе с возвращением общее число исходов равно , а благоприятными являются лишь те исходы, которым соответствует выбор без возвращений, их число равно .
Таким образом, искомая вероятность равна
.
Если объем генеральной совокупности n велик, а m сравнительно мало, то отношение близко к единице. Это говорит о том, что при большой генеральной совокупности и относительно малой выборке различие между двумя способами выбора незначительно, и .
В следующих примерах раскрывается неожиданное свойство приведенной выше вероятности.
Примеры.
1. Имеется группа из m случайно выбранных людей. Какова вероятность, что все люди из этой группы имеют различные дни рождения? Для простоты можно игнорировать существование високосных годов и принять, что в году 365 дней.
Дни рождения m произвольно выбранных людей образуют случайную выборку объема m с возвращением из всех дней в году. Нас интересуют те выборки, элементы которых различны. Вероятность выбора одной из них равна
Расчеты по этой формуле приведут нас к парадоксальным результатам. Для малой выборки кажется правдоподобным заключение, что p близко к единице. И действительно, для m = 10 человек p = 0.883. Однако, уже для m = 23, что тоже невелико, p < 0.5, то есть в более 50% групп с такой численностью найдутся, по крайней мере, двое, имеющие общий день рождения.
2. В городе на каждую неделю приходится в среднем семь автомобильных катастроф. Какова вероятность равномерного распределения катастроф по дням недели? Предполагается, что все возможные распределения равновероятны.
Решение сводится к случайному выбору с возвращением семи дней недели, для семи катастроф . Объем выборки m =7 равен числу элементов n =7, из которых производится выбор. Напомним, что , и приведенная выше формула для вероятности выборки с различающимися элементами даст: .
Таким образом, равномерное распределение числа катастроф встречается очень редко, в среднем лишь для одной недели из 163. Обычно, на какие то дни недели приходится две и более катастроф. Удивительно, что этот вывод следует из предположения о равной вероятности всех дней недели в отношении возможных катастроф.
3. Какова вероятность, что при шести бросаниях правильной кости появятся все возможные грани?
Ситуация аналогична рассмотренной в предыдущем примере. Через обозначим последовательность номеров граней, появившихся в серии из 6 бросаний. Полное число вариантов равно числу выборок с возвращением из 6 по 6 элементов. Благоприятными являются выборки без возвращений из 6 по 6 элементов (перестановки). Интересующая нас вероятность есть - это всего 1.5%, что, на первый взгляд, также противоречит представлению о равной вероятности выпадения всех граней.