1.3. Вероятность события. Свойства вероятности событий

Основной теоретической характеристикой случайного события является его вероятность.

Вероятностью события называется число, характеризующее частоту события при большом числе опытов, т. е. такое число, около которого частота события стремится стабилизироваться при неограниченном увеличении числа опытов.

Таким образом, вероятность события представляет обой его «теоретическую» частоту.

Зная вероятность события, можно, не производя никаких опытов, предсказать, с какой частотой будет появляться это событие при большом количестве опытов. Можно также сказать, что вероятность события представляет собой меру возможности появления события при одном опыте.

Если вероятность события очень мала, то оно будет очень редко появляться при большом числе опытов. В этом случае, собираясь произвести один опыт, мы можем быть практически уверены в том, что событие не произойдет. Наоборот, если вероятность события очень мало отличается от единицы, то, собираясь произвести один опыт, мы можем быть практически уверены в том, что событие произойдет.

Мы говорим здесь о практической уверенности, а не об абсолютной уверенности потому, что, собираясь произвести только один опыт, мы не можем абсолютно точно предвидеть его результат. Этот опыт может оказаться принадлежащим к числу тех редких опытов, когда событие, имеющее малую вероятность, все же появится, а событие, имеющее вероятность, близкую к единице, не появится.

Частота невозможного событии всегда равна нулю, а частота достоверного события всегда равна единице.

Поэтому, согласно данному определению вероятности, невозможному событию следует приписать вероятность, равную нулю, а достоверному событию—вероятность, равную единице.

Однако в дальнейшем мы увидим, что существуют и случайные события, имеющие вероятность, равную нулю или единице.

Таким образом, если вероятность события равна нулю (единице), то это еще не означает, что событие невозможно (соответственно достоверно). Это означает только то, что при неограниченном увеличении числа опытов частота события будет иметь тенденцию стремиться к нулю (соответственно к единице).

Вероятность события А обычно обозначается символом Р(А).

В некоторых случаях вероятность события легко определяется из соображений симметрии результатов опытов. 'Гак, например, при большом числе бросаний правильной монеты герб и цифра вследствие симметрии монеты будут появляться практически с одинаковой частотой. Поэтому событию, представляющему собой появление герба при бросании монеты, следует приписать вероятность, равную 1/2.

Точно так же при бросании правильной игральной кости, имеющей форму куба, шесть граней должны вследствие симметрии появляться примерно с одинаковыми частотами при большом числе опытов.

Следовательно, частота события, представляющего собой появление числа очков, кратного трем, должна стремиться стабилизироваться около 2/6= 1/3 при неограниченном числе опытов.

Таким образом, вероятность появления числа очков, кратного трем, при одном бросании игральной кости равна 1/3.

Очевидно, что вероятность события не может быть отрицательной и не может быть больше единицы, т. е. для любого события А

Вероятности событий, как числа, представляющие собой теоретические частоты событий, около которых стремятся стабилизироваться действительные частоты при неограниченном увеличении числа опытов, должны обладать всеми свойствами частот.

В частности, исходя из доказанной в предыдущем параграфе теоремы сложения частот, принимают следующий принцип сложения вероятностей:

вероятность появления одного из несовместных событий, безразлично, какого именно, равна сумме вероятностей этих событий.-

Этот принцип принимают как для любого конечного числа событий A_it так и, в пределе, для счетного множества событий В,*).

*) Счетным множеством называется такое бесконечное множество, все элементы которого можно пронумеровать (т.е. каждому элементу поставить в соответствие целое число так, чтобы разным элементам соответствовали различные целые числа). Бесконечное множество, элементы которого нельзя привести во взаимно однозначное соответствие с целыми числами, называется несчетном.

Говорят, что события образуют полную группу, если в результате опыта обязательно появляется хотя бы одно из них, т. е. если сумма представляет собой достоверное событие.

Из этого определения и принципа сложения вероятностей следует, что сумма вероятностей несовместных событий, образующих полную группу, равна единице:

Два несовместных события, образующих полную группу, называются противоположными.

Всякому событию А соответствует противоположное событие , представляющее собой не появление события А. Из ране полученных формул следует, что сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

В некоторых случаях непосредственное определение вероятности события А сложно в то время как вероятность противоположного события вычисляется просто. В таких случаях вероятность события А легко находится при помощи приведенного соотношения.

Рассмотрим теперь подробнее вопрос, о вычислении вероятности события в случае, когда возможные результаты опыта обладают симметрией, как, например, в случае бросания монеты или игральной кости.

Предположим, что с данным опытом можно связать полную группу несовместных событий которые вследствие симметрии должны появляться практически одинаково часто при большом числе опытов (например, герб и цифра при бросании монеты, единица, двойка, тройка, четверка, пятерка и шестерка при бросании игральной кости).

Это означает, что вероятности п событий равны друг другу и каждая из них равна

Предположим теперь, что интересующее нас событие А обязательно появляется, если появляется одно из событий и не может появиться, если появляется любое из событий т.е.

В этом случае на основании принципа сложения вероятностей

Равновероятные несовместные события, образующие полную группу, обычно называются случаями.

При этом говорят, что случай Е благоприятен событию А, если появление этого случая влечет обязательное появление события А, и не благоприятен событию А, если появление этого случая исключает возможность появления события А.

Если в силу симметрии результатов опыта с данным опытом можно связать такую систему случаев, что одни из них благоприятны событию , а другие не благоприятны событию А, то вероятность события А равна отношению числа случаев, благоприятных событию А, к числу всех случаев.

Пример При одном бросании монеты возможны дна случая: появление герба и появление цифры. Один из них благоприятствует появлению герба. Следовательно, вероятность появления герба равна 1/2.

Пример. При одном бросании игральной мости имеются шесть случаев; появление одного очка, двух, трех, четырех, пяти и шести- Из них два случая благоприятствуют событию А, представляющему собой выпадение числа очков, кратного трем, и три случаи благоприятствуют появлению события В, представляющего собой выпадение целого числа очков. Следовательно, вероятность выпадении числа очков, кратного трем, равна 2/6=1/3, а вероятность выпадения четного числа очков равна 3/6=1/2.

Пример. В урне имеются 12 одинаковых шаров, ничем не отличающихся друг от друга на ощупь. Из них 5 шаров окрашены и черный цвет, а 7 — в белый. Найти вероятность того, что наугад вынутый из урны шар будет белим.

В данном случае опыт состоит в вынимании одного шара.

С этим опытом связаны 12 случаев, причем 7 из них благоприятствуют появлению белого шара. Следовательно, вероятность появления белого шара равна 7/12.

Схема случаев, при которой вероятности событий вычисляются сравнительно просто, относительно редко встречается в практических задачах, особенно в технике. Поэтому имеет весьма ограниченное практическое применение.

Условной частоте события соответствует понятие условной вероятности события, которая представляет собой вероятность события при условии, что появилось некоторое другое событие.

Как показано ранее, условная вероятность события А относительно события В определяется как отношение вероятности совместного появления событий А и В к вероятности события В;

Совершенно аналогично определяется условная вероятность события В относительно А.

Определение условной вероятности события выражает принцип умножения вероятностей: вероятность совместного появления двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого относительно первого:

Применяя последовательно принцип умножения вероятностей, приходим к заключению, что для любого числа событий

причем порядок нумерации этих событий безразличен.

В соответствии с интуитивными представлениями о зависимости и независимости событий говорят, что событие А зависит от события В, если

Событие А не зависит от В, если

Из вышеприведенных формул следует, что если событие А не зависит от В, то и событие В не зависит от А. Таким образом, имеет смысл говорить только о взаимной зависимости или независимости событий.

Два события независимы тогда и только тогда, когда появление одного из них не изменяет вероятности другого.

События называются попарно независимыми, если любые два из них независимы.

События А₁,..., А_п называются независимыми, если любые два произведения, составленные из этих событий, не содержащие общих событий, являются независимыми событиями.

Если события то на основании данного определения два события Аn... А_1…..Аn-₁ независимы и, следовательно,

Далее, два события независимы, вследствие чего ; ...; события А₁ и А₂ независимы, вследствие чего Следовательно, для независимых событий имеем

Таким образом, вероятность совместного появления независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Пример. В урне имеются 5 черных и 7 белых шаров. Опыт состоит в том, что из урны вынимается один шар и регистрируется его цвет, после чего шар возвращается в урну. После перемешивания шаров из урны снова вынимается один шар. Найти вероятность того, что оба раза будет вынут белый шар.

Назовем событием А появление белого шара в первый раз, а событием В — появление белого шара во второй раз.

Очевидно, что как при первом вынимании, так и при втором вынимании шара вследствие симметрии имеются 12 случаев, из которых 7 благоприятствуют появлению белого шара.

Следовательно, данном случае Поэтому на основании принципа умножения вероятностей

Вероятность появления белого шара во второй раз совершенно не зависит от того, какой шар появился в первый раз. Поэтому события А и В в данном случае независимы.

Пример. В условиях предыдущего примера найти вероятность появления двух белых шаров, если первый вынутый шар в урну не возвращается.

В этом случае при вынимании второго шара имеются 11 случаев, из которых 6 благоприятствуют появлению белого шара при условии, что первый вынутый шар является белым (т. е. что имеет место событие А).

Следовательно, условная вероятность появления белого шара во второй раз при условии, что первый вынутый шар оказался белым (т. е. условная вероятность события В относительно А), равна 6/11. Применяя принцип умножения вероятностей, находим вероятность того, что оба вынутых шара будут белыми:

Если первый вынутый шар оказывается черным, то вероятность появления белого шара при втором вынимании (т. е. условная вероятность события В относительно равна 7/11.

Таким образом, вероятность появления белого шара во второй раз в данном случае существенно зависит от того, какой шар был вынут в первый раз: Р(В | А) Р(В). Следовательно, события А и В в данном случае зависимы.