2.7. Нормальный закон распределение и его приложения в задачах качества

Нормальное распределение - это основной закон статистики.

Кривая нормального распределения носит также название кривой Гаусса (1777—1855)—по имени знаменитого немецкого математика, положившего основы теории случайных ошибок и метода наименьших квадратов, широко используемых в науке и технике.

Нормальное распределение выделяется своим фундаментальным значением среди остальных распределений. Ему подчиняются непрерывные случайные величины , значения которых зависит от большого числа случайных воздействий. Это в равной степени могут быть случайные ошибки эксперимента и множество случайных воздействий на технологический процесс.

Важным для практики свойством нормального закона является то, что он является хорошей аппроксимацией биномиального и пуассоновского распределений при достаточно больших и . Распределение вероятностей для среднего значения

выборки обычно близко к нормальному закону даже, если отдельные выборочные значения распределены существенно иным образом.

2.7.1. Нормальная плотность вероятности и ее параметры.

Нормальной плотностью вероятности называется плотность, определяемая равенством

для любого значения , где —произвольные числа [параметры распределения), причем положительно.

Рис. 2.6.

Нормальная плотность вероятности называется также дифференциальной функцией нормального распределения. График дифференциальной функции нормального распределения показан на рис. 2.6.

В соответствии с выше доказанным ранее, интегральная функция нормального распределения определяется в виде

Легко видеть, что при любом каковы бы ни были параметры и всегда

С другой стороны, полная площадь под всей кривой выразится интегралом

который путем замены переменного на откуда и преобразуется в интеграл

Ввиду того, что _{в двух последних равенствах} верхнему пределу соответствует такой же верхний предел и аналогичное соответствие имеется между нижними пределами этих интегралов.

Очевидно, что площадь под «любой» нормальной кривой (при любых и ) такова же, как под нормальной кривой с параметрами и .

Другими словами, эта площадь не зависит от параметров; и значение интеграла равно единице.

Таким образом, выполнены условия для плотности распределения вероятности и функция n (х; а; ) при всех возможных значениях параметров является плотностью распределения.

График интегральной функции распределения показан на рис. 2.7.

……рис. 2.7.

Из рисунка видно, что плотность нормального распределения симметрична относительно ординаты, отвечающей значению x=a

Это значение является поэтому центром группирования (математическим ожиданием) распределения.

Если изменять , то кривая будет перемещаться вдоль оси х, сохраняя свою форму.

С возрастанием абсолютной величины отклонения т. е. по мере удаления точки от точки , ордината кривой быстро убывает; наибольшая ордината, отвечающая значению

и меет величину

Эта ордината и является осью симметрии кривой. При имеем семейство центрированных (т. е. с центром в начале координат) нормальных кривых

зависящих от одного параметра

Когда параметр уменьшается, начальная ордината кривой растет.

Подъем кривой в центральной части компенсируется более резким спадом ее к оси , так что общая величина площади, как мы видели, остается неизменной и равной единице.

При очень малых значениях кривая становится похожей на тонкую иглу, направленную вдоль оси Почти вся площадь под кривой сконцентрирована на небольшом интервале с центром в нуле.

При возрастании наоборот, происходит «сплющивание» кривой, принимающей все более плосковершинную форму (рис. 2.8).

Чаще всего, однако, рассматривая величину, подчиненную нормальному закону переходят к нормированному распределению.

Рис. 2.8

Нормирование распределения, вообще говоря, заключается в переходе от величины к вспомогательной линейной функции

для которой

При нормальном распределении будем иметь:

откуда после замены переменной интегрирования на новую переменную и подстановки получим:

Дифференцируя по верхнему пределу, получим:

Таким образом, если произвести нормирование распределения т. е. осуществить переход от величины к величине то плотность вероятности выразится полученным равенством, в котором уже отсутствуют параметры и

Все вопросы, связанные с нормальным распределением величины решают, переходя к вспомогательной величине _, т. е. нормируя это распределение.

Нормирование распределения, как нетрудно понять, ведет просто к перенесению начала координат в центр группирования, т. е. к «центрированию», и к выражению абсциссы в долях которое, как мы дальше увидим, представляет среднеквадратическое отклонение величины т. е.