5. Контрольные карты количественных и интегрально-суммарных признаков [7]
Этот раздел завершает обзор методов управления процессами.
В нем
рассматриваются вопросы построения
и
R
контрольных карт, известных также под
именем их автора американского статистика
Уолтера Л. Шухарта.
Таким образом, основными темами данного раздела являются:
контрольные карты для средних значений и диапазонов измеренных переменных;
вычисление и использование сигнальных контрольных уровней;
интегрально-суммарные диаграммы.
После проработки данного раздела и выполнения заданий необходимо уметь:
строить и уметь использовать и R контрольные карты;
различать ситуации, возникающие как в результате случайных погрешностей, так и в результате «разрегулирования» самого процесса;
знать, когда следует предпринимать какие-либо действия и когда вообще не нужно ничего предпринимать;
строить и уметь использовать интегрально-суммарные диаграммы;
понимать, когда интегрально-суммарные диаграммы дают более полезную информацию, чем традиционные контрольные карты.
5.1. Вычисление предельных отклонений для нормального закона распределения
Данный раздел имеет целью обратить внимание на два важных фактора:
1. на то, каким образом исходные данные о процессе должны быть собраны и обработаны для того, чтобы построить кривую возможности процесса;
2. на рутинность вычислений при определении точных предельных отклонений, и преимущества и R диаграмм над и S диаграммами.
Основными важнейшими параметрами нормального закона распределения являются:
математическое ожидание (
),
которое по данным статистической
выборки размера n
вычисляется как среднее арифметическое
1.
дисперсия (
),
которая по данным статистической
выборки размера n
вычисляется как
2.
.
Пример 1.
Проведенное в Северном море обследование позволило получить следующие данные для трала с треской, в котором находилось 317 единиц этой рыбы:
Длина рыбы, см |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
Частота, f |
2 |
13 |
10 |
10 |
7 |
13 |
17 |
36 |
48 |
60 |
Длина рыбы, см |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
41 |
Частота, f |
35 |
25 |
19 |
6 |
4 |
5 |
3 |
1 |
2 |
1 |
Требуется
1. Построить по этим данным гистограмму.
2. Определить среднее арифметическое значение и стандартное отклонение средней длины рыбы с точностью до второго знака после запятой.
3. Отметить точки ± , ±2 и ± 3 на гистограмме.
Решение.
Для ответа на поставленные вопросы и чтобы сгладить некоторые погрешности оказывается более удобным перестроить статистические данные, задав интервалы для размера рыбы:
Длина рыбы, см |
22-23 |
24-25 |
26-27 |
28-29 |
30-31 |
Частота, f |
15 |
20 |
20 |
53 |
108 |
Длина рыбы, см |
32-33 |
34-35 |
36-37 |
38-39 |
40-41 |
Частота, f |
60 |
25 |
9 |
4 |
3 |
По этим данным построить гистограмму, при этом средняя длина рыбы составила примерно 30,5 см.
Для удобства вычислений и S построена таблица, в которой принято обозначение: t = X - 30,5
Если
выбранное нами число для
оказалось
верным, то сумма всех f ґ t должна
быть равна нулю, а раз это не получилось,
то мы должны ввести поправку равную -
90/317 = - 0,28. Поэтому расчетная средняя
длина рыбы составит значение
=
30,50 ‑ 0,28 = 30,22
см.
Если выбранное нами число для оказалось верным, то сумма всех f ґ t должна быть равна нулю, а раз это не получилось, то мы должны ввести поправку равную - 90/317 = - 0,28. Поэтому расчетная средняя длина рыбы составит значение = 30,50 ‑ 0,28 = 30,22 см.
Дисперсия длины рыбы имеет величину:
3732/317
- (-90)/317=11,773 - 0,28 = 11,493.
Для получения большей точности можно воспользоваться поправкой Бесселя, учитывающей размер выборки.
Эта поправка равна n/(n‑1) = 317/316 = 1,003.
При этом скорректированное значение дисперсии составит 11,493 ґ 1,003 = 11,527.
Откуда,
стандартное отклонение S
=
=
±3,40 см.