2.6. Показательное распределение времени ожидания сбоя

В данном подразделе вводится модель, которая широко используется в исследовании надежности. Рассматривается только экономический период службы оборудования, то есть тот период, когда отказы являются случайными: когда отказы периода освоения, проистекающие из ошибок разработки или технологии, устранены, а отказы, связанные с износом, еще не начались.

2.6.1. Функция надежности.

Представим себе, что некоторое число идентичных деталей подвергается испытанию на работоспособность. В случайные моменты времени та или иная деталь выходит из строя, но мы будем предполагать, что вышедшая из строя деталь мгновенно заменяется новой из той же партии - “момент восстановления”. Тогда с течением времени условия эксперимента не изменяются и его можно продолжать сколь угодно долго.

Очевидно, что в такой ситуации число деталей , вышедших из строя за время имеет пуассоновское распределение вероятностей; биномиальное распределение здесь не подходит потому, что состав испытуемых деталей обновляется в моменты восстановления.

Среднее число пропорционально и , и равно .

Коэффициент пропорциональности называется интенсивностью отказов – это доля отказов по отношению к числу работоспособных деталей в единицу времени.

Таким образом,

.

Пусть есть время до первого отказа в испытываемой на сбой системе из идентичных деталей и есть вероятность того, что случайная величина превысит заданное время . Событие произойдет только в том случае, если за время ни одна из деталей не выйдет из строя. Следовательно,

, 

Эта функция определяет надежность всей системы. Функция надежности каждой отдельной детали, является вероятностью того, что время наработки данной детали до отказа превысит время . В рассматриваемом эксперименте все детали идентичны и работают независимо. Вероятность безотказной работы всей системы равна произведению вероятностей безотказной работы каждой детали, то есть . Следовательно, ,

откуда

.

Для экономического периода службы детали справедлив экспоненциальный закон надежности.

Когда большое количество деталей подвергается испытаниям на надежность функцию надежности можно интерпретировать и как долю деталей, сохранивших свою работоспособность в течение времени , по отношению к их начальному числу.

2.6.2. Функция распределения времени ожидания сбоя.

Рассмотрим дополнительную к вероятность .

Она называется функцией распределения случайной величины.

Поскольку есть вероятность события , то есть - вероятность противоположного события .

Приращение равное

есть вероятность события .

При малых приращение заменяется дифференциалом .

Функция называется плотностью распределения вероятностей.

Для показательно распределенного времени ожидания отказа  функция распределения равна

,

плотность распределения -

.

Рассмотрим примеры, относящимся к надежности систем.

2.6.3. Метод дополнительной вероятности.

Представление сложного события в виде суммы несовместимых событий не всегда очевидно. В подобных ситуациях бывает удобнее использовать метод дополнительной вероятности. Он часто используется, в том числе, в задачах надежности.

Пусть A и суть искомое и противоположное ему события.

Очевидно, что они несовместимы, их сумма есть достоверное событие.

Таким образом,

Следовательно

Пример Кубик бросается три раза. Событие А-выпадение шестерки не менее одного раза, осуществление события означает, что при трех бросаниях шестерка ни разу не выпадет. Вероятность, что такая ситуация произойдет при одном бросании равна , а при трех бросаниях -

Таким образом, для вероятности в данном примере правильным будет следующее значение:

Метод дополнительной вероятности оказался удобным потому, что независимые события в данном примере просматриваются легче, чем несовместимые.

Рассмотрим теперь два примера, относящихся к надежности систем.

Представим себе, что имеемся система, состоящая из трех элементов А, В, С, соединенных последовательно (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Последовательное соединение элементов

Мы хотим оценить вероятность отказа этой системы через заданный промежуток времени, если нам известны вероятности отказов отдельных элементов. Система выйдет из строя, когда, по крайней мере, один из ее элементов выйдет из строя.

Применим метод дополнительной вероятности.

Обратное событие состоит в том. что система не выйдет из строя в заданный промежуток времени, и соответствующая вероятность равна

Такое событие произойдем только тогда, когда ни один из элементов системы не выйдет из строя.

Следовательно.

Если и обе равны 0.02, а равно 0.2.

то

П оэтому вероятность того, что откажет вся система, равна

т.е. около 23%

Рис. 2.4. Параллельное соединение элементов

Однако, для системы, состоящей из параллельно, соединенных элементов, как на рис. 2.4. вероятность отказа всей системы равна произведению

вероятностей отказов отдельных элементов,

На рис. 2.5 представлена система, в которой произведено дублирование наименее надежной системы В. Вероятность отказа подсистемы В при этом равна

и для всей системы -

Вероятность отказа системы при этом равна

, вместо 0.232 в предыдущем случае.

Рис.2.5. Дублирование элемента В с низкой надежностью

Вероятностям отказов , , и на временном интервале для системы и отдельных элементов соответствуют функции распределения времени ожидания сбоя _.- для всей системы, и , и - для отдельных элементов.

Вероятностям безотказной на временном интервале работы, - для системы и , , - для отдельных элементов, соответствуют функции надежности и , , .

При последовательном соединении (рис.2.1) перемножаются надежности,

,

а при параллельном соединении тех же элементов перемножаются функции распределения,

.