2.6.4. Зависимость интенсивности отказов от времени. Практические случаи - кривая в форме «ванны».

Кривая в форме «ванны» показана на рис. 2.6. Такое неофициальное название широко используется для обозначения графика зависимости интенсивности отказов от времени. Впервые кривая была получена при анализе статистических данных о смертности населения.

Кривая в форме ванны имеет три фазы или сегмента, которые соответствуют трем стадиям жизненного цикла и характеризуются падением, постоянством и последующим подъемом опасности сбоя системы вплоть до отказа последнего элемента.

Дефекты, выявляемые на первой стадии, связанны с дефектами материалов или сборки. Это, как правило - дефекты сварки и соединений, разрывы соединений и изоляции, грязь, примеси, трещины, плохая регулировка или перекосы. Эту часть кривой иногда называют периодом «детской смертности», причем даже в технических приложениях, имея в

Рис. 2.6. Кривая в форме «ванны»

виду анализ статистических данных о смертности населения.

После этого следует продолжительный период, когда интенсивность отказов низка и достаточно постоянна.

У многих видов продукции уровень отказов в этой области столь низок, что его трудно оценить количественно из-за недостатка данных.

Это и есть экономический период, когда интенсивность отказов можно считать постоянной величиной, и справедливо показательное распределение вероятностей для времени ожидания отказа. Случайный отказ может быть вызван случайным резким напряжением, запоздалым «ранним отказом» или самым началом «изнашивания».

На конечном этапе все выжившие изделия выходят из строя за достаточно короткий период времени, определяющийся ограничениями, присущими материалам, использованным технологиям и конструкциям, природными условиями, в которых продукция эксплуатируется.

(Источник: британский стандарт BS 5760: Часть 2: 1994)

Это может быть коррозия, окисление, разрыв изоляции, миграция на уровне атомов, фрикционный износ, усадка, усталость и т.д.

По аналогии можно назвать этот период «старостью», хотя на самом деле он связан с «изношенностью».

2.6.5. Среднее время между отказами

При показательном законе распределения время до отказа данной детали является непрерывной случайной величиной, не зависящей от момента, который принимается за начало отсчета времени.

Это нетривиальное явление называется парадоксом показательного распределения. Оно означает, что в статистическом смысле нет различия между временем ожидания первого сбоя и временем ожидания между вторым и третьем сбоями или пятым и шестым и т.д.

Выше мы говорили, как вычислить, математическое ожидание (среднее) для дискретной случайной величины.

Для обобщения указанной процедуры надо вместо вероятности точного значения использовать вероятность того, что случайная величина оказалась в малом интервале , примыкающему к , а суммы заменить интегралами.

Вероятность попадания в интервал равна приращению , или при малых - дифференциалу .

Таким образом, математическое ожидание непрерывной случайной величины есть

или .

где - плотность распределения вероятностей.

Теперь мы можем вычислить среднее время наработки на отказ для показательно распределенного времени ожидания отказа . Любая из двух приведенных выше интегральных формул и “метод интегрирования по частям” даст следующее соотношение:

.

Следовательно, функцию надежности можно записать и таким образом:

.

Примеры

1. Какая часть из множества элементов, имеющих случайный характер распределения отказов, будет иметь срок службы, превышающий средний в два раза?

Эта часть равна значению функция надежности при . Следовательно, она равна значению .

2. Какова вероятность того, что отдельный элемент достигнет среднего времени между отказами MTBF?

Эта вероятность также определяется значением функции надежности при , то есть равно . (Таблица 2.3. содержит значения функции ).

3. Испытанию на надежность были подвергнуты 50 изделий. Отказы были зарегистрированы после отработки следующего числа часов:

180 185 190 205 220 230 232 235 238 240.

Испытания были прекращены через 240 часов, при этом 40 изделий продолжали безотказно работать. Предполагая интенсивность отказов постоянной, необходимо определить-

• вероятность того, что изделие проработает 240 часов;

• среднее время между отказами (MTBF);

• интенсивность отказов.

В этой задаче конкретные значения моментов отказов не имеют значения. Важно, что за 240 часов отказали 10 изделий. Доля деталей, сохранивших работоспособность, равна 40/50 = 0.8 и это - значение функции надежности при t = 240 часов.

Испытания были прекращены через 240 часов, при этом 40 изделий продолжали безотказно работать. Предполагая интенсивность отказов постоянной, необходимо определить-

• вероятность того, что изделие проработает 240 часов;

• среднее время между отказами (MTBF);

• интенсивность отказов.

В этой задаче конкретные значения моментов отказов не имеют значения.

Важно, что за 240 часов отказали 10 изделий.

Доля деталей, сохранивших работоспособность, равна

40/50 = 0.8

и это - значение функции надежности  при t = 240 часов.

Среднее время между отказами определяется из условия

.

Используя таблицу 2.3 функции , найдем:

,

следовательно,

часов,

и интенсивность отказов