6. Cтатистические методы анализа динамических рядов [7]

6.1. Метод скользящей средней

Любой процесс со временем меняет свои параметры. И величина этих изменений характеризует динамику процесса. Если какой-либо параметр процесса отобразить в хронологической последовательности его значений, то получим временной ряд, который называют также динамическим рядом или рядом динамики.

В общем случае даже для детерминированных процессов закон изменения значений временного ряда не остается постоянным, т.к. на развитие процесса воздействуют мешающие факторы, которые «раскачивают» его параметры, приводя, в конце концов, к изменению закона развития процесса.

Например, на рис.32 приведен динамический ряд результатов калибровки генератора на отметке шкалы 1000 Гц.

 

Рис. 6.1. Изменение частоты f генератора на отметке шкалы 1000 Гц

желаемая частота генератора на отметке

шкалы 1000 Гц;

• - действительные значения частоты генератора в моменты его калибровки;

- допустимое отклонение частоты генератора от 1000 гц.

Калибровка проводилась в равноотстоящие друг от друга моменты времени 1,2,…,7, которые обычно обозначают через t с нижним индексом (t₁, t₂,…, t₇).

Числовые значения анализируемого параметра ряда динамики называют уровнями ряда и обычно обозначают через y с нижним индексом соответствующего момента времени.

Главнейшей задачей анализа и исследования динамических рядов является выявление и установление тенденции и закономерности в изменении уровней ряда.

Часто эту тенденцию называют просто трендом.

Анализируя динамический ряд, приведенный на рис. 6.1, можно отметить, что основное требование, предъявляемое к качеству работы генератора, состоит в стабильности частоты генератора в течение всего времени эксплуатации.

Так, если в какой-то момент времени частоту генератора установили на отметку 1000 Гц, то это значение частоты должно быть и на выходе генератора.

Однако, в процессе калибровки генератора, проводимой в дискретные моменты времени (1,2,..,7), реальное значение частоты отличается от значения 1000 Гц, т.е. имеет место наличие погрешности генерации колебаний относительно установленного значения 1000 Гц. При этом в моменты времени 1,2,…,6 погрешность генератора не превышает допустимые пределы, а в момент времени 7 - погрешность генератора выходит за пределы поля допуска.

Поэтому, анализируя временной ряд, желательно описать его той или иной математической зависимостью, чтобы затем оценить возможные тенденции развития анализируемого процесса. Даже поверхностное рассмотрение динамического ряда y₁, y₂,…, y₆ , результатов калибровок генератора не позволяет спрогнозировать появление уровня y₇. Необходим дополнительный источник информации или для предсказания момента отказа прибора следует использовать более информативные параметры, а иногда и несколько параметров процесса, чтобы более точно предсказать поведение анализируемого процесса. Например, урожайность сельскохозяйственных культур зависит не только от количества вносимых удобрений, но определяется также погодными условиями и различными аномальными явлениями.

В зависимости от характера исследуемого процесса и предъявляемых к нему требований существует множество методов анализа динамических рядов, которые, в основном, касаются либо исследования параметров случайной составляющей, либо выявления систематической составляющей и установления тенденций и скорости ее изменения. В данном разделе будут рассмотрены только методы анализа динамики временных рядов – методы, которые позволят планировать объем производства и обоснованно выполнить прогноз спроса на товары и услуги.

Как уже ранее указывалось, на развитие процессов оказывает влияние большое число факторов, одни из которых являются существенными (значимыми, определяющими), а другие несущественными. Воздействие первых из них формируют некоторую тенденцию в развитии явления, а вторые искажают эту тенденцию.

В любом случае, чтобы описать некоторой математической формулой тенденцию в развитии процесса необходимо, прежде всего, очистить динамический ряд от несущественных факторов. В радиотехнике подобные мешающие факторы именуют шумом и для освобождения полезного сигнала от шума применяют фильтрацию, в результате которой происходит удаление высокочастотных колебаний. Физически операция по удалению высокочастотных колебаний эквивалентна сглаживанию анализируемого процесса. 

Сглаживание исследуемого процесса заключается в укрупнении (объединении) данных процесса и нахождении для укрупненных данных среднего значения для всего анализируемого процесса или для его фрагментов (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Сглаживание динамического ряда

• путем определения среднего значения для всего анализируемого процесса;

• путем разбиения динамического ряда на 2-е не перекрывающиеся части и определении для каждой из них средних значений.

Вполне очевидно, что когда имеется некоторый установившийся режим функционирования, выборочные результаты которого искажены помехами, т.е. образовался так называемый случайный стационарный процесс, то для определения параметров подобного процесса проводят усреднение имеющихся результатов.

Если процесс не стационарен, то для оперативной, прикидочной оценки его динамики усредняют различные фрагменты процесса, а его средние точки соединяют отрезками прямых линий.

Последний метод сглаживания уровней ряда именуют методом укрупнения интервалов.

Он часто применяется, если исходные уровни ряда относятся к коротким интервалам.

Например, если имеются данные о суточном выпуске продукции, то для анализа динамики процесса укрупняют интервалы наблюдений и рассматривают количество выпускаемой продукции за неделю, за месяц или за квартал. Обычно укрупненные данные более четко отражают динамику процесса – либо его стабильность, либо рост, либо спад.

Однако наиболее часто сглаживание ряда динамики производят на основе метода скользящей средней.

Суть метода заключается в том, что сначала выбирают первые m уровней (точек) ряда динамики и вычисляют по ним среднее значение, затем среднее значение определяют для следующих m точек ряда, но сдвинутых вправо на один уровень, потом среднее значение определяют для m точек, сдвинутых вправо на два уровня и т.д.

Таким образом, находят ряд средних значений по m точкам, «скользя» по ряду динамики от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень слева и добавляя один уровень справа.

Поэтому метод получил название - скользящая средняя. Последовательность выбранных m точек часто именуют пробным периодом.

Каждое новое значение представляет собой средний уровень за пробный период и смещено относительно анализируемого числа m точек в его середину.

Чтобы исключить несимметричное смещение полученного в результате преобразования временного ряда относительно исходной совокупности стремятся выбрать число m нечетным.

Определение скользящей средней по четному числу членов ряда динамики более громоздко, так как средняя может быть отнесена только к середине между двумя уровнями, находящимися в середине интервала сглаживания.

Если число членов скользящей средней обозначить через 2 l, то серединным будет уровень, относящийся к l + 1/2 члену ряда.

Например, средняя, найденная для четырех точек исходного ряда, должна располагаться посредине между второй и третьей точками исходного ряда.

В результате такого преобразования между исходным динамическим рядом и преобразованным получается несимметричный временной сдвиг, что не всегда удобно для проведения последующего анализа.

Чтобы ликвидировать подобный временной сдвиг, применяют так называемый способ центрирования, который предусматривает повторное усреднение преобразованного ряда по двум смежным точкам. В результате центрирования каждая усредненная скользящая средняя строго относится к какой-либо одной точке исходного временного ряда.

На рис. 6.3 для некоторой организации приведен динамический ряд числа продаж ЭВМ по годам. Здесь же приведена динамика сглаженного ряда по трем точкам.

фактические уровни ряда динамики

скользящие средние по трем ординатам

Рис. 6.3. Временной ряд. Динамика продаж ЭВМ

На рис. 6.4 этот же временной ряд сглажен скользящей средней по четырем точкам, затем произведено центрирование усредненного ряда.

 

Фактические уровни ряда динамики

Скользящие средние по четырем ординатам (нецентрированные)

Скользящие средние по четырем ординатам (центрированные)

Рис. 6.4. Временной ряд. Динамика продаж ЭВМ

Приведенные кривые достаточно ясно иллюстрируют, что сглаженные зависимости имеют более наглядную динамику тенденций развития временного ряда.

Задача № 1.

В табл. 6.1 приведен динамический ряд числа рекламаций ЭВМ, предъявленных их разработчику, за десять последовательных месяцев.

1. Проведите сглаживание временного ряда по методу скользящей средней, выбрав в качестве пробного периода:

• пять точек;

• четыре точки.

2. Выполните центрирование ряда сглаженного по четырем точкам.

3. Поясните полученные результаты.

Таблица 6.1

Решение задачи представлено в табл. 6.2.

Приведенные в табл. 6.2 скользящие средние показывают, что имеется небольшая тенденция к уменьшению числа рекламаций ЭВМ, т.е. производитель постепенно добивается повышения надежности выпускаемой им продукции. В данном случае сглаженные результаты можно аппроксимировать линейной функцией.

Таблица 6.2

Метод простой скользящей средней вполне приемлем, если графическое изображение ряда динамики напоминает прямую линию. В этом случае не искажается динамика исследуемого явления.

Однако когда тренд выравниваемого ряда имеет резкие изгибы, которые желательно сохранить, то более целесообразно использовать для сглаживания ряда метод взвешенной скользящей средней.

На рис.6.5 приведен пример динамического процесса, который в своем развитии имеет три стадии

I. динамика процесса линейная;

II. динамика процесса имеет вид параболы второго порядка;

III. динамика процесса имеет вид параболы более высокого порядка.

Очевидно, что при сглаживании подобных временных рядов необходимо каким-то образом учитывать существенные изменения процесса, происходящие в определенные моменты времени.

Вполне естественно напрашивается решение: при сглаживании процесса наибольшее доверие оказывать тем значениям процесса, которые он имеет в точке сглаживания и по мере удаления точек сглаживания от середины пробного периода – их степень влияния должна уменьшаться.

 

Рис. 6.5. Временной ряд