2.2. Гипергеометрическое распределение

Рассмотрим следующую задачу

Пусть каждый из объектов некоторой совокупности обладает одним из двух признаков или причем признаком обладают объектов и, следовательно, признаком обладают объектов.

Число и доля объектов, обладающих признаком не известны.

Для того чтобы приближенно оценить эту долю, отбираем группу из объектов и определяем число объектов, обладающих признаком в выборке.

При некоторых условиях отношение будет почти равно интересующей нас доле .

Посмотрим, какова вероятность получить в выборке из объектов в точности объектов с признаком

Будем различать между собой отдельные объекты совокупности, например, пронумеровав их в некотором порядке.

Множество возможных элементарных исходов данного испытания (т. е. выборки) будет представлять совокупность различных групп по номеров из чисел

Отдельные группы будут различаться хотя бы одним номером, порядок же номеров в группе не существен.

Таким образом, каждая такая группа будет представлять одно из сочетаний из номеров по

Число всех сочетаний по объектов, обладающих признаком равно а число сочетаний по объектов, обладающих признаком , равно

Так как все сочетания по объектов, представляющие благоприятные комбинации, мы получим, комбинируя каждое из сочетаний первого типа с каждым из сочетаний второго, то общее число всех благоприятных комбинаций п отобранных объектов будет, следовательно, равно произведению

На основании классического определения интересующая нас вероятность того, что в выборке из объектов окажется объектов с признаком окончательно будет равна

Система вероятностей P_N,M(n,x), определенных таким образом, называется гипергеометрическим распределением

Этой формуле можно придать еще вид

В частности, вероятность не получить в выборке ни одного предмета с признаком получится при в виде

На основании полученных формул рассчитывается наиболее выгодный с точки зрения трудоемкости и надежности вариант выборки в смысле ее объема и объема проверяемой партии предметов при заданной и предполагаемых значениях

Так, например, вероятность того, что в выборке из трех штук, отбираемых из 100 предметом, окажется один предмет с признаком (например, дефектная деталь), если среди общего числа предметов будет 30 предметов, обладающих этим признаком, равна

Таким образом, вероятность того, что случайная величина . —число объектов в выборке, обладающих признаком —примет возможное значение определяется равенством

Здесь —число объектов с признаком среди всех объектов совокупности, из которой отбирается выборка.

При этом может, естественно, принимать значения, удовлетворяющие неравенствам

Обозначая долю через и разделив каждый из множителей числителя и знаменателя на получим:

Мы видим, что распределение зависит от трех параметров: и

Если неограниченно возрастает, а то, очевидно, что

т. е. члены гипергеометрического распределения стремятся к соответствующим членам биномиального распределения как к своему пределу.

Гипергеометрическое распределение обладает свойствами, аналогичными свойствам биномиального распределения; оно также принадлежит к числу одномодальных распределений.

Центр этого распределения равен

и дисперсия

где

При выборочном контроле, часто необходимо знать, какова вероятность получения = 0, 1, 2, 3, 4, ... дефектных изделий в выборке объема , если известна доля брака во всей партии. Если при этом известно и полное число изделий в партии, то решение задачи дается гипергеометрическим распределением –

,

в котором общее число дефектных изделий в партии , а годных - .

Формула для гипергеометрического распределения содержит много параметров, поэтому сложна для табуляции и расчетов.

В этом отношении биномиальное распределение значительно проще.

Оно является хорошим приближением к гипергеометрическому распределению, когда вся партия изделий настолько велика, что на долю брака не влияет извлечение выборки, при этом вероятность извлечения дефектного изделия в отдельном контрольном испытании составляет одну и туже величину , независимо от номера испытания, а вероятность для годного изделия равна