5.2. Контрольные карты для средних арифметических значений и размахов: и r

Непрерывная переменная, характеризующая какое-либо свойство продукции, (т.е. переменная, которая может принимать любые значения, а не только дискретные) будет всегда иметь тенденцию к нормальному закону распределения, если выполняются следующие условия:

(а) каждое изделие изготавливается на одно и то же номинальное целевое значение, но при этом:

(б) имеется множество малых возмущений, которые не позволяют точно достигнуть этого номинального значения, причем:

• влияние каждого возмущения независимо и аддитивно;

• среднее результирующее каждого возмущения равно нулю.

Нормальное распределение с любыми значениями параметров  и  может быть стандартизовано (приведено нормальному распределению с параметрами  ₀ = 0 и  ²₀ = 1) простым преобразованием:

Z = (x -  )/  ,

где х - конкретное значение из распределения, которое анализируется.

Ранее мы рассматривали отдельные наблюдения, взятые из нормального распределения. Однако при построении контрольных карт мы не анализируем каждое отдельное изделие, а только их выборки.

Чем меньше объем выборки, тем более узкого размаха (разброса) значений мы вправе ожидать. Для выборок справедливы утверждения:

• если генеральная совокупность имеет нормальный закон распределения, то и распределение в выборке также будет нормальным;

• среднее значение в выборке будет таким же, что и в генеральной совокупности: ;

• стандартное отклонение для среднего арифметического выборки будет равно стандартному отклонению для генеральной совокупности, деленному на корень квадратный из объема выборки: , где n - размер выборки.

Другим преимуществом выборок является то, что даже если генеральная совокупность не подчиняется нормальному закону распределения, то распределение в выборке является приблизительно нормальным. Поэтому в результате построения контрольной карты в предположении нормального закона распределения может быть получен верный результат даже тогда, когда генеральная совокупность не подчиняется нормальному закону распределения.

5.3. Диапазон как замена стандартного отклонения

Из формулы для вычисления стандартного отклонения, а также из примера 1 становится очевидным, что проведение вычислений вручную или с помощью карманного калькулятора представляет собой достаточно трудоемкий и длительный процесс.

Зачастую, оказывается возможным в качестве альтернативы использовать диапазон значений в выборке — их размах , где и - соответственно максимальное и минимальное значения параметра X в выборке.

Оказывается гораздо проще определять размах в выборках и регулировать положение предельных отклонений, чем вычислять стандартное отклонение и устанавливать соответствующие границы для ± 3  .

Данные, используемые для построения контрольных карт, приведены в табл. 5.1.

В частности, стандартное отклонение  может быть вычислено по формуле

,

где коэффициент d₂ представлен в табл. 5.1.

Задание № 1 для самостоятельной работы

Данные из примера 2, представленного ниже дают

Таблица 5.1

Коэффициенты для определения пределов управляемости,

среднего значения и размаха

(американская методика)

расчетное среднее значение 42,56, а средний диапазон 24,4. Рассчитайте стандартное отклонение, используя коэффициент d₂ (для n =5), взятый из табл. 5.1.

Ниже приводится алгоритм построения контрольных карт и R.

Такую карту называют также «американской», если на ней определены только пределы управляемости ±3 и не установлены сигнальные пределы ±2.