http://profbeckman.narod.ru/

Аттракторы с участием как седловых, так и устойчивых циклов с малыми областями притяжения называются хаотическими. Все фазовые траектории, образующие стохастический аттрактор, экспоненциально неустойчивы. Хаотический аттрактор должен удерживать хотя бы одну устойчивую траекторию. В частности, хаотические аттракторы могут состоять либо из одного стабильного предельного цикла с достаточно близкими спиралями, либо из счетного множества устойчивых предельных циклов с достаточно малыми областями притяжения (число циклов может быть бесконечным).

22.6 Фрактальные аттракторы

Динамика диссоциативных систем с типичными хаотическими аттракторами в определенном смысле аналогична динамике гамильтоновых систем, у которых, наряду со стохастическими слоями, существуют инвариантные торы Колмогорова-Арнольда-Мозера

(КАМ).

В диссипативных системах хаотический аттрактор возникает, если общее сокращение объемов происходит путем сокращения в некоторых направлениях, сопровождаемых (менее быстрыми) растяжениями в других. Странные аттракторы по своим характеристикам часто совпадают с хаотическим аттрактором.

Хаотический аттрактор – аттрактор, для которого приближение к его конечной точке в фазовом пространстве хаотично, а принадлежащие ему индивидуальные фазовые траектории экспоненциально неустойчивы.

Хаотическая динамика означает наличие перемешивания и, следовательно, положительность энтропии Колмогорова. Перемешивание ведёт к спаду автокорреляционных функций во времени до нуля. Состояния системы, отделенные достаточно большим интервалом времени, становятся статистически независимыми. Любая система с перемешиванием является эргодической. Для хаотических динамических систем расцепление корреляций во времени связано с экспоненциальной неустойчивостью хаотических траекторий и со свойством системы порождать положительную энтропию Колмогорова. Возможно автокорреляционные функции хаотических систем экспоненциально спадают со скоростью, определяемой энтропией Колмогорова, причём

энтропия Колмогорова ограничена сверху суммой положительных ляпуновских показателей. Сложное поведение корреляционных функций определяется не только положительными показателями Ляпунова, но и закономерностями хаотической динамики системы.

Рис. 8. Странный аттрактор как моток проволоки.

Хаотический аттрактор – притягивающее множество: система, стартуя с начального условия в соответствующем бассейне, в конечном

итоге попадает в это множество. Он чувствителен к начальным условиям. Если система находится на аттракторе, соседние состояния расходятся друг от друга экспоненциально быстро. Следовательно, небольшие количества шума усиливаются и поведение системы становится непредсказуемой. Сами хаотические аттракторы вполне упорядочены (структурированы), часто имеют четко фиксированные геометрические структуры (неподвижные и неизменные), несмотря на то, что движущиеся внутри них траектории кажутся непредсказуемыми. Геометрическая форма хаотического аттрактора - это порядок, лежащий в основе кажущегося хаоса. Его функционирование напоминает замешивание теста. Локальное разделение траекторий соответствует растяжению теста, а

http://profbeckman.narod.ru/

размерность между одним и двумя. Если для сечения Пуанкаре можно вычислить показатель фрактала, то тогда имеет место не случайный, а детерминированный хаос (в котором можно как-то предсказать эволюцию

системы).

Рис. 11. Хаотические аттракторы являются фракталами: объектами, проявляющими по мере увеличения всё большее число деталей. Хаос естественным образом порождает фракталы. Для того чтобы движение оставалось в конечной области, близлежащие траектории, хоть они и расходятся, должны в конечном счёте изогнуться и пройти поблизости друг от друга. Это повторяется снова и снова, порождая складки внутри складок, и т.д. до бесконечности. В результате хаотические аттракторы имеют очень красивую микроскопическую структуру. Эно обнаружил простое правило, по которому растягивается и складывается плоскость, причём так, что каждая точка попадает на новое место. Взяв одну начальную точку, нанесём на график каждую последовательную точку, полученную из предыдущей по правилу Эно. Найденная в результате геометрическая фигура (a) даёт простой пример хаотического аттрактора. На рисунке b часть, обведённая рамкой, дана с увеличением в 10 раз. При последующих увеличениях (c, d) проявляется микроскопическая структура аттрактора. На нижнем рисунке изображена область притяжения аттрактора Эно.

Странный аттрактор связан с геометрическим объектом - фрактальным множеством. В трёхмерном фазовом пространстве фрактальное множество странного

аттрактора выглядит как набор бесконечного числа слоев или параллельных плоскостей, причём расстояние между некоторыми из них приближаются к бесконечно малому.

Фрактальные аттракторы - хаотические аттракторы, хаусдорфова размерность которых отлична от топологической размерности и является дробной. Примеры: аттрактор Лоренца, соленоид Смейла-Вильямса, уравнения Навье - Стокса.

Замечание. Если фракталы рассматривать не в статике, а в динамике (в эволюции во времени), то динамическим аналогом фрактала будет хаос (конкретный фрактал - мгновенный снимок хаотического процесса). Хаос описывает состояние крайней непредсказуемости, возникающей в динамической системе, в то время как фрактальность описывает крайнюю иррегулярность или изрезанность, присущую геометрической конфигурации.

Рис. 12. Некоторые хаотические аттракторы: 1 – Чуа (ток электронов); 2 – Дуффинг

(нелинейный осциллятор); 3 – Рёсслер (химическая кинетика); 4 – Лоренц (конвекция атмосферы).

Объём, в котором ограничен странный аттрактор, не определяется четко. По мере приближения к поверхности аттрактора его объём всё больше и больше раскрывается,

http://profbeckman.narod.ru/

вплоть до бесконечности. Фрактальная площадь поверхности бесконечна. Поэтому объем странного аттрактора не может быть детерминированно установлен.

Все разнообразие статистических свойств случайного сигнала, порождаемого динамической системой со странным аттрактором, может быть описано, если известно распределение вероятности состояний системы. Однако получить это распределение для конкретных систем чрезвычайно сложно. Это одна из причин, по которой для описания странного аттрактора и сопоставления его свойств со свойствами реального сигнала используют различного рода усреднённые характеристики.

Рис. 13. Примеры странных аттракторов.

22.7 Характеристика нерегулярных аттракторов

Геометрия фракталов применяется в нелинейной динамике для характеристики странных аттракторов и для измерения фрактальных границ в пространствах начальных данных и параметров. Аттрактор характеризуют размерностью. Фрактальную размерность никаким прибором измерить нельзя. Её и показатель Ляпунова находят, дискретизируя сигналы последовательностью равноотстоящих (по времени) точек и обрабатывая полученные данные на компьютере. Можно найти усредненную поточечную размерность, корреляционную размерность или размерность Ляпунова.

Размерность определяет количество информации, необходимое для задания координат точки, принадлежащей аттрактору, в рамках указанной точности. Она может зависеть только от метрических свойств аттрактора или от статистических свойств потока, обусловленных динамикой. Метрические размерности принимают одинаковую величину - фрактальную размерность аттрактора.

Известны разные виды фрактальной размерности: емкость dc, поточечная размерность dP, корреляционная размерность dG, информационная размерность dI. Информационная размерность и корреляционная размерность ограничивает емкость снизу, т.е. dG dI dc. Для многих странных аттракторов все три размерности очень близки.

Фрактальная размерность странных аттракторов – дробная величина.

Наиболее часто используется фрактальная размерность (Колмогорова ёмкость фрактала):

http://profbeckman.narod.ru/

где >0, некоторый фиксированный параметр, N( ) – число n-мерных шаров диаметра (или кубиков с длиной ребра ), покрывающих странный аттрактор динамической системы с n-мерным фазовым пространством.

Для «регулярных» геометрических объектов размер df не отличается от обычной евклидовой размерности, где df – целое число. Однако фрактальная размерность может быть как целым, так дробным числом (например, для множества Кантора (или канторской пыли) df=0,63. Определённая по Ур.1 размерность df не может превышать n, но может быть меньше n (n-мерные шары могут оказаться почти пустыми). Фрактальная размерность странного аттрактора даёт оценку эффективного числа степеней свободы, формирующих установившийся (после окончания всех переходных процессов) стохастичский. сигнал. Понятие фрактальной размерности полезно в геометрическом анализе динамических систем, поскольку оно может быть задумано как мера того, как траектории заполняют фазовое пространство под действием потока или отображения. Например, нецелое фрактальное измерение указывает на то, что траектории системы заполняют меньше чем целое подпространство фазового пространства. Например, размер аттрактора системы можно принять за индекс сложности, о чём свидетельствует существенный размер системы.

Табл. 1. Фрактальная размерность некоторых динамических систем.

Фазовые портреты нелинейных хаотических динамических систем часто представляют собой фракталы. Например, хаотический режим логистического отображения имеет фазовый портрет, подобный канторовому множеству на отрезке. Аттрактор Эно представляет собой канторово множество на плоскости при a=1,4, b=0,3 его фрактальная размерность df=1,25. Размерность аттрактора Лоренца в хаотическом режиме, рассчитанная по алгоритму корреляционной размерности, имеет значение dc=2,06. Значение фрактальной размерности фазовых портретов динамических систем позволяет различить детерминированные, случайные (стохастические) и хаотические процессы.

Информационная размерность определяется следующим образом

http://profbeckman.narod.ru/

размерностей dq может рассматриваться как характеристика степени пространственной неоднородности аттракторов.

Произведем разбиение фазового пространства, включающего в себя аттрактор, на M( ) непересекающихся n-мерных кубиков с ребром . Проделаем m последовательных измерений, следя за фазовой траекторией и через равные промежутки времени отмечая кубики si, в которых побывала траектория. При каждом независимом испытании получим конкретную реализацию в виде последовательности кубиков si,...,sm. Если известны вероятности P(si,...,sm) появления всех возможных последовательностей кубиков, то энтропия Колмогорова

Характерное время, на которое может быть предсказано поведение системы, обратно пропорционально энтропии Колмогорова. Если энтропия достигает нуля, то система становится полностью предсказуемой. Так будет в случае регулярных процессов. Для истинно случайных процессов энтропия неограниченно велика. Энтропия системы в режиме странного аттрактора положительна, но имеет конечное значение. Числовое значение энтропии является количественной характеристикой степени хаотичности системы. Можно ввести понятие обобщенной энтропии Реньи как динамического аналога

Одно время было принято считать, что странные аттракторы обязательно имеют фрактальную структуру. Да, так бывает, но далеко не всегда. Фрактальной может оказаться не вся система, а только некоторая её часть при некотором значении управляющего параметра, но часто странный аттрактор никаким самоподобием не обладает, и никаких признаков фрактальности в нем нет.

Помимо фрактальной размерности, количественным критерием хаоса является показатель Ляпунова. При этом положительный показатель Ляпунова указывает на хаотическую динамику, а фрактальная структура орбиты в фазовом пространстве указывает на присутствие странного аттрактора. Проверка с применением показателя Ляпунова может использоваться в как в диссипативных, так и консервативных системах, а фрактальные размерности имеют смысл только в диссипативных системах. Максимальная экспонента Ляпунова характеризует степень с которой соседние фазовые траектории расходятся и число положительных экспонент Ляпунова определяет число нестабильных направлений.

Табл. 2. Некоторые характеристики аттракторов.

Характеристические показатели Ляпунова аттрактора определяются соотношениями:

где ai(k,x) – модуль i-го собственного значения матрицы Якоби (матрица n*n частных производных Fk, вычисленных в точке x) DFk(x).